Problème de "coordonnées"

[invite73a87672]

Bonjour à tous. Un de mes exercices me pose problème.
J'ai une fonction f(x) = lnx/x + 2 - x définie sur ]0;+∞[ et notée (C).
J'ai calculé la dérivée f'(x) = (1 - x^2 - ln x)/x^2 (je suis à 100% sûre qu'elle est juste).
J'ai démontré que la droite (D) d'équation y = - x + 2 était asymptote oblique à la courbe de (C) et étudié les positions relatives.

On me demande maintenant de déterminer les coordonnées du point de la courbe (C) où la tangente est parallèle à (D), on appellera (T) cette tangente.
Donc là pour moi, si les deux droites sont parallèles, c'est qu'elles ont même coefficient directeur, soit -1. Mais je ne peux pas calculer la tangente à (C) en -1 puisque l'ensemble de définition ne me le permet pas ! Ou alors, je me trompe de méthode ?
Merci d'avance pour votre aide.
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[Ouk A Passi]

Bonjour,

Deux droites // n'ont-elles pas le même coefficient directeur!

Tu connais l'équation de la tangente à la courbe, donc ...

[invite73a87672]

Ah ! Je pense avoir compris !
Elles ont même coeff. directeur, donc f'(a)=-1
ce qui équivaut à la fin à a=e. Donc e est l'abscisse du point.
Ensuite, on calcule f(e) et on obtient l'ordonnée du point que l'on cherche.
Merci beaucoup pour votre aide !

[hhh86]

Donc là pour moi, si les deux droites sont parallèles, c'est qu'elles ont même coefficient directeur, soit -1. Mais je ne peux pas calculer la tangente à (C) en -1 puisque l'ensemble de définition ne me le permet pas ! Ou alors, je me trompe de méthode ?
Merci d'avance pour votre aide.

Soit (T) la tangente à Cf au point d'abscisse a.
Une équation de (T) est donc :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
<=>f'(a)x-af'(a)+f(a)
On suppose que (T) est parallèle à (D)
Or deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Il faut donc résoudre l'équation f'(a)=-1
<=>(1-ln(a))/a²-1=-1
<=>(1-ln(a))/a²=0
<=>ln(a)=1 et a≠0
<=>a=e
L'équation réduite de (T) est donc :
y=f'(e)(x-e)+f(e)
<=>y=-x+e+1/e+2-e
<=>y=-x+2+1/e

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Ah ! Je pense avoir compris !
Elles ont même coeff. directeur, donc f'(a)=-1
ce qui équivaut à la fin à a=e. Donc e est l'abscisse du point.
Ensuite, on calcule f(e) et on obtient l'ordonnée du point que l'on cherche.
Merci beaucoup pour votre aide !

Oui c'est ça