Bonsoir,
j'ai un dm à rendre pour demain où je bloque
voici l'énoncé :
Soit N un entier naturel ayant exactement deux diviseurs premiers . On note S (N) la somme des diviseurs positifs de N.
1) Dans cette question on suppose que la décomposition en facteurs premiers de N est a^n*b^m où a et b sont des nombres premiers distincts et n et m des entiers naturels non nuls.
a) Montrer que S (N)=(1+a+a²+...+a^n)(a+b+b²+.. .+b^m).
En déduire S(N)= [(a^(n+1)-1)/(a-1)]*[(b^(m+1)-1)/b-1]
b) Appliquer ce résultat à N=28, N=175 et N=496.
2) Un entier N est dit parfait s'il est égal a la somme de ses diviseurs stricts dans N, c'est-à-dire s'il est la somme de tous ses diviseurs positifs sauf N lui-meme.
a) Montrer que N est parfait si et seulement si S(N)=2N.
b)Les entiers 28, 175, 496 sont-ils parfaits ?
c)Soit p un entier premier, different de 2, et N=2^4*p. Peut-on déterminer p pour que N soit un nombre parfait?
d) Plus généralement soit p un entier premier différent de 2, n un entier naturel non nul et N=2^n*p. Quelle doit etre l'expression de p en fonction de n pour que N soit parfait?
e) Donner les nombres parfaits de cette forme pour n inférieur ou égal à 5.
J'aurais surtout besoin de pistes ... merci d'avance.
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où i et j vont de 0 à n et de 0 à m, ca donnera tous les diviseurs de N, et on en fait la somme. On factorise cette somme et on tombe sur la proposition de l'énoncé.