Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admis

[invite2b14cd41]

Salut, depuis la 5ème les profs nous ont appris quelques "théorèmes de base" en géométrie plane euclidienne, comme par exemple : "Les 3 médianes se coupent en un même point" ou encore "les diagonales d'un parallélogrammes se coupent en leur milieu" , "2 angles alternes-internes sont égaux" , etc
Tous ces théorèmes ont été admis , comme si c'était des postulats, bien qu'il en soit tout autrement ...
Quels sont les fondements de la géométrie plane apprise au collège ?
Sont-ils les postulats d'Euclide tel qu'il les décrit dans ses éléments, ou bien y a-t-il d'autres postulats modernes (je pense notemment aux axiomes de Hilbert)?
Et comment peut-on , à partir de ces axiomes de base , prouver certaines "propriétés magiques" , comme le fait que les 3 médianes d'un triangle se coupent en leur milieu ?
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[invite5150dbce]

les trois médianes d'un triangle ne se coupent pas en leur milieu attention

[invite2b14cd41]

Désolé, je voulais dire "les 3 médianes d'un triangle se coupent en un même point" (je l'ai dis plus haut)

[danyvio]

L'intersection des médianes en un seul point est un théorème bien démontré, et tout ce qu'on apprend ensuite en géométrie "classique" découle des seuls postulats d'Euclide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

D'accord, connaissez-vous cette démonstration ?

[invite5150dbce]

Bah tu as plusieurs possibilité je crois soit en utilisant la géométrie analytique, soit avec les vecteurs (cette démonstration est vue en seconde)

[invite2b14cd41]

Avec les vecteurs ca donne quoi ? (pour rester le plus possible dans le domaine de la géométrie "pure")

[invitec17b0872]

Ca doit pouvoir se faire avec la notion de barycentre partiel. Introduisez les isobarycentres de chaque couple de sommet (càd le milieu de chaque segment), introduisez l' isobarycentre du triangle et montrez tour à tour que le barycentre du triangle appartient à chaque droite reliant un sommet et le milieu du côté opposé.

[invitefd754499]

Ca doit pouvoir se faire avec la notion de barycentre partiel. Introduisez les isobarycentres de chaque couple de sommet (càd le milieu de chaque segment), introduisez l' isobarycentre du triangle et montrez tour à tour que le barycentre du triangle appartient à chaque droite reliant un sommet et le milieu du côté opposé.

Bonjour,

Oui. Il s'agit d'un exercice plus ou moins récurrent en 1ère.

Cordialement,

[danyvio]

Ce lien offre deux démonstrations :

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr...e.html#gravite

[invite2b14cd41]

Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?

[danyvio]

Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?

Je ne voudrais pas paraître prétentieux, mais c'est ce qu'on démontrait en 5ème ou 4ème.....

[Médiat]

Sont-ils les postulats d'Euclide tel qu'il les décrit dans ses éléments, ou bien y a-t-il d'autres postulats modernes (je pense notemment aux axiomes de Hilbert)?

Les axiomes d'Euclide sont insuffisants pour "tout" démontrer, les axiomes manquants étant les plus "évidents".

Le livre de Hilbert sur les fondements de la géométrie est accessible en ligne gratuitement :
Version en anglais : http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
Version en français : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AS..._17__103_0.pdf

[invite2b14cd41]

Je ne voudrais pas paraître prétentieux, mais c'est ce qu'on démontrait en 5ème ou 4ème.....

Quoi ? Dans mon école (au Liban) nous n'avons jamais rien démontrer de pareil , nous les avons juste "admis" en tant que théorème !
Connaissez-vous la preuve pour la somme des angles dans un triangle ?

[invite25cbd5d2]

Quoi ? Dans mon école (au Liban) nous n'avons jamais rien démontrer de pareil , nous les avons juste "admis" en tant que théorème !

Je confirme

Connaissez-vous la preuve pour la somme des angles dans un triangle ?

A partir d'un sommet trace la parallèle au coté opposé a ce sommet.
Puis avec les angles alternes-internes tu déduis la somme.

[invite5150dbce]

Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?

c'est encore faux, la somme des angles d'un triangle est égale à pi. ça se démontre aisément avec les angles orientés.
Soit (O,i,j) un repère orthonormal direct du plan. Soit ABC un triangle (sens direct)

On a Â=(AB,AC)
^B=(BC,BA)
^C=(CA,CB)

(AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB)=(AB,AC )+(BC,AB)+(AB,BA)+(CA,AC)+(AC, BC)+(BC,CB)=(AB,AC)+(BC,AB)+(A C,BC)+3pi=3pi=pi (mod 2pi)

Or €]0;pi[, ^B€]0;pi[ et ^C€]0;pi[
donc Â+^B+^C€]0;3pi[
d'où Â+^B+^C=pi

[invite2b14cd41]

c'est encore faux, la somme des angles d'un triangle est égale à pi. ça se démontre aisément avec les angles orientés.
Soit (O,i,j) un repère orthonormal direct du plan. Soit ABC un triangle (sens direct)

On a Â=(AB,AC)
^B=(BC,BA)
^C=(CA,CB)

(AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB)=(AB,AC )+(BC,AB)+(AB,BA)+(CA,AC)+(AC, BC)+(BC,CB)=(AB,AC)+(BC,AB)+(A C,BC)+3pi=3pi=pi (mod 2pi)

Or €]0;pi[, ^B€]0;pi[ et ^C€]0;pi[
donc Â+^B+^C€]0;3pi[
d'où Â+^B+^C=pi

Je te remercie pour cette belle (et simple) démonstration (désolé de m'être encore trompé, comme à mon hapitude )
Cependant, la propriété "associative" des angles orientés (cad : (AB,CD)+(CD,EF)=(AB,EF)) ne découle-t-elle pas du fait que deux angles correspondants(ou alternes-internes;ce qui revient au même) sont égaux? (étant donné que A,,B,C,D,E,F peuvent être "n'importe ou dans le plan") ...
Comment démontrer ce théorème qui a l'air très "naturel" ??

[invite25cbd5d2]

Je suis aussi interessé par la démonstration de la relation de Chasles pour les angles orientées.
J'aimerais bien voir comment on peut demontrer quelque chose tellement intuitif.
Et puisqu'on parle de la relation de Chasles... Est ce une définition ?

[invite5150dbce]

Il faut se ramener à la définition des angles orientés et donc au cercle trigonométrique mais le problème qui vient est de démontrer la relation de chasles pour les intégrales

[invite5150dbce]

D'ailleur, je suis bête, la relation de chasles pour les intégrales est très simple à démontrer à partir de la définition.

En ce qui concerne le cercle trigonométrique c'est la même chose. Il suffit de se ramener à la définition de la longueurde l'arc

[invite25cbd5d2]

Est ce que quelqu'un peut rédiger tout cela ? ou bien renvoyer vers un site un document ou l'on trouve la démonstration ?

[invite5150dbce]

je n'ai pas spécialement le temps de le faire et je ne connais aucun site la spécifiant mais peut-être peut-on avoir une autre approche que la mienne

[invite2b14cd41]

Est ce que quelqu'un peut rédiger tout cela ? ou bien renvoyer vers un site un document ou l'on trouve la démonstration ?

En effet, ce serait pas mal ...
Mais qu'en est-il de la démonstration des angles alternes-internes qui sont égaux ? Et la "ligne" (c.a.d l'angle plat) a bien comme mesure pi rad "par définition"(postulats) , n'est-ce pas ?

[invite5150dbce]

c'est la définition de pi

[invite25cbd5d2]

En effet, ce serait pas mal ...
Mais qu'en est-il de la démonstration des angles alternes-internes qui sont égaux ? Et la "ligne" (c.a.d l'angle plat) a bien comme mesure pi rad "par définition"(postulats) , n'est-ce pas ?

Les angles alternes-internes se démontrent avec les triangles superposables.

Mais je crois que historiquement cela découle du 5eme postulat d'Euclide.

[invite2b14cd41]

Les angles alternes-internes se démontrent avec les triangles superposables.

Mais je crois que historiquement cela découle du 5eme postulat d'Euclide.

Je pense que les propriétés des triangles semblables ont été découvertes après celle des angles alternes-internes.
En effet la propriété des angles alternes-internes semble plus "basique"

[invite25cbd5d2]

c'est la définition de pi

Je ne pense pas. Un radian c'est la mesure le l'angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon.

Je pense que les propriétés des triangles semblables ont été découvertes après celle des angles alternes-internes.
En effet la propriété des angles alternes-internes semble plus "basique"

J'ai parler de triangles superposables pas de triangles semblables.

[invite5150dbce]

Et qu'est-ce que la mesure d'un angle ? Revoies tes cours de 1ère S. Cela un rapport avec la longueur d'un arc de cercle. Or la longueur de l'arc de cercle, on peut l'exprimer avec une intégrale

[inviteceaa4eb0]

Bonjour,

Cette année j'ai essayé de trouver les démonstrations de ce genre de propriétés basiques en géométrie euclidienne.

J'en ai trouvé avec une certaine approche dans le livre "Les maths au collège : démontrer pour comprendre".

Dans ce livre on admet comme axiomes les trois théorèmes concernant l'isométrie des triangles et tout est démontré à partir de cela (propriétés des angles alternes-internes et même les triangles semblables )

Très cordialement,

Guillaume