Bonjour,
Je bloque sur une question de mon devoir :
Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = -x + e + lnx/x
g fonction définie sur ]0;+oo[ par :
g(x) = 1 - x² - lnx
question : Justifier que f est dérivable sur ]0 ; +oo[ et démontrer que f' à le même signe que g sur ]0;+oo[.
Merci de votre aide.
Bonjour,
f(x) = -x + e + lnx/x
1) x|->e-x dérivable sur R, pas de pb car fonction affine
2) x|->ln x/x dérivable sur ]0,+inf[ par quotient de fonctions dérivables sur ce même intervalle
Ensuite essaie de montrer que sur ]0,+inf[,
x² f '(x) = g(x)
Merci de cette réponse rapide.
J'ai compris pour la première partie de la question.
Pour la deuxième partie, j'ai dérivé f(x).
J'ai trouvé f '(x)= -1 + (1-lnx) / x² (est-ce juste ?)
Mais après je comprends pas pourquoi il faut montré que x² f '(x) = g(x)
Oui la dérivée est correcte
Si x² f '(x)=g(x) alors g est du signe de f '(x) puisque x² est positif sur R...
Rem: cela ne sort pas du chapeau, il suffit de factoriser ton expression par x² pour remarquer g
Merci encore !
J'ai compris, mais pour m'assurer :
On démontre que f' a le même signe que g sur ]0;+oo[
Si x²f '(x) = g(x) alors f' à le même signe que g.
(x² ne changeant pas le signe sur R+)
x²f '(x) = x² ( -1 + (1-lnx)/x²)
x²f '(x) = 1 - x² - lnx = g(x)
donc f et g on le même signe sur ]0;+oo[
donc f ' (et non f) et g on le même signe sur ]0;+oo[
