Bonjour,
je cherche à montrer que
f(z)=(a+z)/(1+az) avec |z|=|a|=1
est un réel.
Sur une figure je vois bien que le numérateur et le dénominateur ont même argument (arg(a)+arg(z))/2, mais je ne sais pas comment le montrer.
Merci
-----
24/02/2010, 21h37
#2
invite5150dbce
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 710
Re : Argument complexe
|a|=1
Soit θ un argument de a, a=eiθ
|z|=1
Soit θ' un argument de z, z=eiθ'
On a donc a+z=eiθ+eiθ'
Or θ-(θ+θ')/2=(θ-θ')/2
Donc eiθ+eiθ'=ei(θ+θ')/2(ei(θ-θ')/2+e-i(θ-θ')/2)
Or cos[(θ-θ')/2]=(ei(θ-θ')/2+e-i(θ-θ')/2)/2
Donc a+z=2ei(θ+θ')/2cos[(θ-θ')/2]
1+az=1+eiθeiθ'=ei0+ei(θ+θ')
Donc 1+az=ei(θ+θ')/2(ei(θ+θ')+e-i(θ+θ'))
Or cos[(θ+θ')/2]=(ei(θ+θ')/2+e-i(θ+θ')/2)/2
Donc 1+az=2ei(θ+θ')/2cos[(θ+θ')/2]
On a donc f(z)=cos[(θ-θ')/2]/cos[(θ+θ')/2] appartenant à IR
PS : θ n'est pas un 8, c'est le symbole théta
25/02/2010, 08h30
#3
invitea3eb043e
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
10 536
Re : Argument complexe
Il y a plus simple : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, soit (1 + a*z*)
25/02/2010, 08h49
#4
invite5150dbce
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 710
Re : Argument complexe
Envoyé par Jeanpaul
Il y a plus simple : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, soit (1 + a*z*)