Argument complexe

[inviteec6c824c]

Bonjour,
je cherche à montrer que
f(z)=(a+z)/(1+az) avec |z|=|a|=1
est un réel.

Sur une figure je vois bien que le numérateur et le dénominateur ont même argument (arg(a)+arg(z))/2, mais je ne sais pas comment le montrer.
Merci
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[hhh86]

|a|=1
Soit θ un argument de a, a=e^iθ
|z|=1
Soit θ' un argument de z, z=e^iθ'

On a donc a+z=e^iθ+e^iθ'
Or θ-(θ+θ')/2=(θ-θ')/2
Donc e^iθ+e^iθ'=e^i(θ+θ')/2(e^i(θ-θ')/2+e^-i(θ-θ')/2)
Or cos[(θ-θ')/2]=(e^i(θ-θ')/2+e^-i(θ-θ')/2)/2
Donc a+z=2e^i(θ+θ')/2cos[(θ-θ')/2]

1+az=1+e^iθe^iθ'=eⁱ⁰+e^i(θ+θ')
Donc 1+az=e^i(θ+θ')/2(e^i(θ+θ')+e^-i(θ+θ'))
Or cos[(θ+θ')/2]=(e^i(θ+θ')/2+e^-i(θ+θ')/2)/2
Donc 1+az=2e^i(θ+θ')/2cos[(θ+θ')/2]

On a donc f(z)=cos[(θ-θ')/2]/cos[(θ+θ')/2] appartenant à IR

PS : θ n'est pas un 8, c'est le symbole théta

[Jeanpaul]

Il y a plus simple : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, soit (1 + a*z*)

[hhh86]

Il y a plus simple : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, soit (1 + a*z*)

Oui c'est sur ^^

[A voir en vidéo sur Futura]