Inéquation

[LuchoGonzalez]

Voilà j'ai fait un exercice de maths où il y avait des inéquations, le professeur est allé assez vite et de ce fait quand j'ai refait les exercices il y a des choses que je ne comprend pas voici l'énoncé et les réponses puis après ma question :

Résoudre dans R les inéquations suivantes :

x⁴+ x² - 2 > 0
-> X² + X - 2 > 0 avec X= x²

Delta = b² - 4ac = 9.
Donc il y a 2 racines réelles :
X1 = (-b-racine de 9) / 2a = -2 et X2 = (-b+racine de 9)/ 2a = 1.
Il ya donc 2 racines réelles X<-2 ou X>1
donc x² < -2 ou x²>1
La premiere possibilité n'est pas possible.

donc x²>1 d'ou x appartient à ]- infini; -1[ U ]1; +infini[

Ce que je ne comprend pas c'est pourquoi on dit que X<-2 et X>1 ? Comment fait-on pour savoir que X<-2 et X>1 ? C'est ca qui me bloque.

Merci d'avance.
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[Enaïtso_22]

Salut,

Ca ne peut pas être dû au fait que tu as une inéquation et pas une équation? Je me plante probablement, je ne suis pas particulièrement douée en maths mais c'est la seule solution que je vois.

A+
Enaïtso_22

[Paminode]

Bonjour,

En effet, comme le dit Enaïtso (qui prétend bizarrement "ne pas être douée en maths" : modestie ?), c'est parce qu'on a une inéquation et non une équation.
La résolution de X² + X - 2 = 0 donne deux solutions, X₁ = - 2 et X₂ = 1.
Ces valeurs marquent des changements de signe de l'expression.
Ces deux valeurs définissent 3 domaines :
]-; -2[
]-2 ; +1[
]+1; +[
Reste à déterminer dans le(s)quel(s) de ces domaines on a X² + X - 2 > 0
Il suffit, par exemple, de choisir X = 0.
On obtient -2 < 0
On voit donc que l'intervalle ]-2 ; +1[, qui contient 0, ne convient pas.
C'est donc dans les deux autres intervalles qu'il faut choisir X.
On passe ensuite à x.
Comme x² = X, on ne peut pas avoir x² < -2.
Reste x² > 1

Paminode

[Enaïtso_22]

En effet, comme le dit Enaïtso (qui prétend bizarrement "ne pas être douée en maths" : modestie ?)
Paminode

Ce n'est absolument pas de la modestie, j'ai 5 de moyenne en maths !! La preuve j'ai senti que c'était un problème d'inéquation et pas d'équation mais j'étais absolument incapable d'aller plus loin !!

Enaïtso_22

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paminode]

Ce n'est absolument pas de la modestie, j'ai 5 de moyenne en maths !!

Alors FS est un bon endroit à fréquenter...

Paminode

[Enaïtso_22]

En effet... Encore que ces temps ci c'était plutôt pour la bio !!
Enaïtso_22

[LuchoGonzalez]

Bonjour,

En effet, comme le dit Enaïtso (qui prétend bizarrement "ne pas être douée en maths" : modestie ?), c'est parce qu'on a une inéquation et non une équation.
La résolution de X² + X - 2 = 0 donne deux solutions, X₁ = - 2 et X₂ = 1.
Ces valeurs marquent des changements de signe de l'expression.
Ces deux valeurs définissent 3 domaines :
]-; -2[
]-2 ; +1[
]+1; +[
Reste à déterminer dans le(s)quel(s) de ces domaines on a X² + X - 2 > 0
Il suffit, par exemple, de choisir X = 0.
On obtient -2 < 0
On voit donc que l'intervalle ]-2 ; +1[, qui contient 0, ne convient pas.
C'est donc dans les deux autres intervalles qu'il faut choisir X.
On passe ensuite à x.
Comme x² = X, on ne peut pas avoir x² < -2.
Reste x² > 1

Paminode

Qu'entends-tu par cela ? Je ne comprend pas

[Paminode]

Bonsoir,

On veut avoir : X² + X - 2 > 0
Donc on doit choisir sur quel ensemble de valeurs de X cette inéquation est vérifiée.
On a démontré que pour X₁= -2 et X₂= 1 :
X² + X - 2 = 0
On va donc "découper" R en plusieurs intervalles et valeurs.
Les deux valeurs X₁=-2 et X₂=1 définissent 3 domaines sur R :
]-; -2[
]-2 ; +1[
]+1; +[

Pour X ]-; -2[, X² + X - 2 a un certain signe que l'on ne connaît pas
Pour X = X₁ = -2, X² + X - 2 = 0
Pour X ]-2 ; +1[, X² + X - 2 change de signe par rapport au premier intervalle
Pour X = X₂ = 1, X² + X - 2 = 0
Pour X ]+1; +[, X² + X - 2 change de nouveau de signe, donc retrouve le même signe que sur le premier intervalle.
Reste à déterminer dans le(s)quel(s) de ces domaines on a X² + X - 2 > 0
Pour faire un test facile, prenons une valeur simple : X = 0
Comme 0 ]-2 ; +1[, on connaîtra le signe de X² + X - 2 sur cet intervalle.
X = 0 X² + X - 2 = -2 < 0
Donc X ]-2 ; +1[ X² + X - 2 < 0
Ce domaine ne convient pas.
Comme sur les deux autres intervalles ]-; -2[ et ]+1; +[ X² + X - 2 a un autre signe, c'est bien ces deux intervalles qui correspondent à ce que nous voulons, c'est-à-dire X² + X - 2 > 0
Or, X est nécessairement > 0 puisque c'est un carré : X = x²
Donc, en définitive, l'intervalle ]-; -2[ ne convient pas non plus.
Car pour X ]-; -2[, X < -2 < 0 et on doit avoir X > 0
Donc seul l'intervalle ]+1; +[ convient.
X ]+1; +[ X² + X - 2 > 0 et X > 0

Paminode