Taux de variation d'une fonction

[invite79e760d4]

ndFlyingsquirrel : Discussion créée à partir de message postés dans ce fil.

Merci à tous.
J'ai pu continuer les exercices grâce à vos éclaircissements.

J'aimerais toutefois à nouveau solliciter vos connaissances (et votre patience) car j'en suis arrivé dans mon cours au taux de variation d'une fonction sur un intervalle et j'éprouve quelques problèmes pratiques pour avancer dans la matière.

Pour plus de clarté dans mes explications, ci-dessous, j'ai inclus une photo du cours et du problème rencontré. Mon incompréhension touche à l'interprétation graphique du taux de variation.

Ainsi, dans un des exemples du cours, pour la fonction f(x) = x^2 (le cours précise toutefois que cela correspond à une parabole), je ne comprends pas comment l'on détermine en abscisse la position de "x".

De la même manière, si vous regardez un autre exemple en photo ci-dessous, je ne comprends pas comment est déterminée la position de "x" sur le graphique pour la fonction f(x) = sqrt x.

Seriez-vous en mesure de pouvoir éclairer ma lanterne ?

### image supprimée ###
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[Flyingsquirrel]

Bonsoir,

Joe l indien, j'ai supprimé votre image car elle est

• beaucoup trop lourde (plus de 1 Mo !!) ;
• hébergée sur un serveur extérieur.

Merci de reposter une image moins lourde en prenant soin de la mettre en pièce jointe (icône ).

[invite79e760d4]

Ok désolé j'ai redimensionné l'image.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

En réalité le point X d'abscisse x est positionné aléatoirement. On pourrait reformuler la phrase en dessous du graphique de la manière suivante: "Soit le point du graphique de f d'abscisse 1 et X un autre point du graphique de f, choisi aléatoirement, d'abscisse x".

Le taux de variation, quand à lui, représente la variation d'une quantité par rapport à la variation d'une autre quantité (souvent la variation d'une fonction par rapport à celle de sa variable).

Par exemple prenons une fonction f(x) définie pour tout x réel, et deux points d'abscisses et , tels que , et d'ordonnées respectives et . On appelle le taux de variation de entre et , alors:



Cette notion de taux de variation est très importante car elle conduit directement à la notion de dérivée, qui est par la suite quasiment omniprésente dans les mathématiques.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite79e760d4]

Bonjour,

En réalité le point X d'abscisse x est positionné aléatoirement. On pourrait reformuler la phrase en dessous du graphique de la manière suivante: "Soit le point du graphique de f d'abscisse 1 et X un autre point du graphique de f, choisi aléatoirement, d'abscisse x".

Ah ben voilà ! merci. C'est ce que je pensais mais je préfère être certain

[invite79e760d4]

Pour compléter le module, je dois résoudre 3 exercices.
Je crois avoir juste pour l'un d'entre eux.
Mais je ne vois pas comment simplifier les fractions pour les deux autres.

Si quelqu'un pouvait passer en revue les étapes de simplification des deux exercices qui me posent problème ça me serait d'une grande aide car je suis au point mort !

Je dois calculer le taux de variation dans l'intervalle [0,5 x], x>0,5 de :

1) f1(x) = -1/2x^2

(pour celui-là je m'embrouille) et en voulant simplifier j'obtiens :

{-1/2x^2 - (-1/4)} / x - 1/2 = {1/4 (1 - 2x^2)}/ x - 1/2

==> donc en fait j'essaye de simplifier mais je ne vois pas où cela mène...

2) f2(x) = 2 sqrt x

Celui-ci par contre je pense l'avoir juste et la simplification "fonctionne" mieux car ça me donne :

{2(sqrt x - sqrt 1/2)} / (sqrt x - sqrt 1/2) (sqrt x + sqrt 1/2)
= 2 / (sqrt x + sqrt 1/2)

3) f3(x) = 1/3 x^2

Là je m'embrouille avec des dénominateurs 1/12 or je ne suis pas sûr que ce soit la marche à suivre...

[invitee4ef379f]

Pour la première fonction, je ne comprends pas ce que c'est:



ou bien:



Pour la seconde, pas de problème.

Pour la troisième, si c'est bien , essaye quelque chose de ressemblant à la seconde...

Bon courage!

[invite79e760d4]

1)

2)

==> j'ai bien tenté pourtant mais je ne trouve pas

[inviteb14aa229]

Bonjour Joe,

Ces deux exercices ne présentent pourtant pas de difficulté.
Le numérateur du taux d'accroissement présente une différence de deux carrés :
x² - (1/2)²
Le taux d'accroissement est donc de la forme :
(a² - b²)/(a - b)
Ce qui donne ?
Les coefficients -1/2 et 1/3 ont juste à être ajoutés devant. Ils ne jouent aucun rôle particulier.

Paminode

[inviteb14aa229]

1) f1(x) = -1/2x^2

(pour celui-là je m'embrouille) et en voulant simplifier j'obtiens :

{-1/2x^2 - (-1/4)} / x - 1/2 = {1/4 (1 - 2x^2)}/ x - 1/2

==> donc en fait j'essaye de simplifier mais je ne vois pas où cela mène...

3) f3(x) = 1/3 x^2

Là je m'embrouille avec des dénominateurs 1/12 or je ne suis pas sûr que ce soit la marche à suivre...

Pour compléter ce que j'ai écrit au-dessus, vous ne devez pas faire les calculs en développant (1/2)² et en multipliant par les coefficients (-1/2) et 1/3.
Cela ne conduit qu'à vous embrouiller, et vous faire faire des erreurs de calcul (ce n'est pas 1/4 mais 1/8).
Ne développez pas (1/2)² , laissez les coefficients (-1/2) et 1/3 "inertes" devant l'expression du taux d'accroissement, et travaillez sur les identités remarquables comme pour l'exercice 2) f₂(x) = 2

[inviteb14aa229]

Juste un conseil :
Pour simplifier votre écriture, et vous rendre plus facile à lire :
1) pour les puissances, au lieu d'écrire x^2, utilisez l'icône X²
2) pour écrire f_n(x), utilisez l'icône X₂
3) pour écrire les racines :
a) tapez \sqrt{x}
b) sélectionnez
c) cliquez sur l'icône T_EX

Paminode

[invite79e760d4]

ça va toujours pas



=

or je ne vois pas comment dans ce cas je peux laisser la parenthèse inchangée. enfin bref, j'arrive à ceci



je suis nul !

[inviteb14aa229]

C'est bien cela !
= -1/2[x²-(1/2)²]/(x-1/2)
C'est bien de la forme :
(a²-b²)/(a-b)
Et ça fait combien, (a²-b²)/(a-b) ?
Je vous signale que vous l'avez utilisé à l'envers dans le calcul du taux de f₂, c'est à dire sous la forme :
(a-b)/(a²-b²)
Le , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Paminode

[invitee4ef379f]

C'est bien cela !
Le , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Quand on écrit le taux d'accroissement, cette constante apparaît devant chaque terme du numérateur: on peut donc la mettre en facteur.

Bon courage!

[inviteb14aa229]

C'est bien cela !
Le , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Quand on écrit le taux d'accroissement, cette constante apparaît devant chaque terme du numérateur: on peut donc la mettre en facteur.

Exactement. Une fois que vous avez mis en facteur et donc extrait le coefficient -1/2 ou 1/3 de f(x)-f(1/2),
c'est-à-dire du numérateur de , il n'intervient plus.

Vous avez donc "sorti" 1/2 mais gardé le -. Pourquoi ?
C'est l'ensemble (-1/2) qu'il faut mettre en facteur et "sortir" du numérateur pour appliquer ensuite les identités remarquables.

Paminode

[invite79e760d4]

je dois vraiment être borné car malgré tous vos indices, j'obtiens :

[invite79e760d4]

et après ?



or mais le dénominteur est :

donc je ne vois pas du tout le rapport

puisque si je fais la racine du dénominateur je n'obtiendrai une parenthèse identique à celle du numérateur ...

[invite79e760d4]

ah non en me relisant je vois l'erreur !

c'est x et pas sqrt x au numérateur.

[invite79e760d4]

Donc ma réponse serait :







(?)

[invite79e760d4]

Pour l'autre exercice :

[inviteb14aa229]

Voilà.
Tau = (-1/2)(x+1/2) dans un cas, et 1/3 (x+1/2) dans l'autre.
C'est plus élégant de laisser les résultats sous forme factorisée.
Cela n'apporte rien de développer.
Et n'oubliez pas d'indiquer qu'il s'agit de Tau, et non de simplement jeter les calculs sans écrire devant "Tau = ".

Paminode

[invite79e760d4]

Merci pour votre aide cela me permet de boucler un devoir et de passer au module suivant.

En réalité, c'était vraiment simple mais le problème est que je n'ai plus fait de maths depuis ma sortie du lycée il y a 9 ans (donc ce n'est plus du tout frais dans ma tête).

Ce forum m'est d'un grand secours car lorsque je bloque dans mes cours (par correspondance) il n'y a pas de prof pour aider et à part les quelques exercices corrigés (trop peu nombreux) du cours, je n'ai pas vraiment d'autre recours !

[inviteb14aa229]

Alors n'hésitez pas !

Paminode