-1=1

[DarK MaLaK]

Bonjour,

Moi ce qui me choque avant tout, c'est d'écrire !
C'est 1 ou -1 parce que 1²=1 et (-1)²=1.
On tombe alors au final sur deux choix possibles : ou bien -1=1 ou bien -1=-1.
Je vous laisse conclure...

Salut, en fait, je ne crois pas car quand on prend la racine d'un nombre au carré, on définit la valeur absolue et on tombe sur |1|=|-1|, ce qui est vrai.

Donc pour les "paradoxes", je récapitule : pour le premier, on a donné des propriétés qui n'existent pas pour la racine carrée dans les complexes, et pour le second, il fallait que l'exposant soit un nombre entier ?
-----

[invité576543]

pour le second, il fallait que l'exposant soit un nombre entier ?

Réponse rapide : oui.

[Médiat]

N'y a-t-il pas moyen de définir la racine d'un nombre complexe [...]

Si, bien sur, mais quelles propriétés exigerons-nous d'une fonction qui réponde à cette définition ?
Si f est une telle fonction, il me semble que l'on attend d'elle, a minima, les propriétés suivantes :
1) , c'est le minimum
2) , f doit prolonger la fonction racine
3) , une propriété bien connue de la fonction racine sur son domaine de définition.

Dans la troisième propriété, si on prend x = -1 et y = -1, on obtient :
f(1) = f(-1).f(-1)
La propriété 1 implique f(-1).f(-1) = -1
La propriété 2 implique f(1) = 1

Ce qui est contradictoire, il n'existe donc pas de fonction , vérifiant ces 3 propriétés.

Je vois mal comment on peut se passer de la 1 et de la 2, et se passer de la 3 est dangereux (mais pas impossible, d'ailleurs le choix de cette propriété est un choix personnel).

Un travail un peu fastidieux consisterait à faire une liste des propriétés de la fonction racine sur , et de vérifier si elles sont contradictoires avec les propriétés 1 et 2, et pour celles qui ne sont pas contradictoires, se poser la question de savoir si elles sont suffisantes pour les institutionnaliser.

[DarK MaLaK]

Et réponse détaillée ?

[invitee4ef379f]

Bonjour,

En réalité est la notation historique, écrite par Bombelli pour trouver de nouvelles racines imaginaires aux polynômes d'ordre 2 (et 3). Cependant il se trouve que cette notation posait problème, justement à cause des propriétés de la racine qui permettaient d'arriver à des résultats tels que -1=1.

Euler a donc démocratisé l'utilisation de i à la place de } pour lever toute ambiguité.

Bonne continuation.

[invité576543]

Et réponse détaillée ?

faudrait commencer par définir correctement ce que pourrait bien signifier la notation avec y et z complexes (c'est ce que Thorin a demandé, avec raison, dans sa réponse à ton message, et il n'y a pas eu de réponse ).

Dans le cas particulier , avec n entier et z complexe, on se doute bien de la définition (on s'attend à ce qu'elle soit compatible avec la multiplication) et on alors bien égalité avec .

Cordialement,

[DarK MaLaK]

faudrait commencer par définir correctement ce que pourrait bien signifier la notation avec y et z complexes (c'est ce que Thorin a demandé, avec raison, dans sa réponse à ton message, et il n'y a pas eu de réponse ).

Dans le cas particulier , avec n entier et z complexe, on se doute bien de la définition (on s'attend à ce qu'elle soit compatible avec la multiplication) et on alors bien égalité avec .

Cordialement,

On peut définir cette notation en utilisant le logarithme complexe :



J'ai un livre qui en parle mais j'ai autre chose à faire pour l'instant, j'essaierai de retrouver la partie concernée et de vous en faire part.

[invité576543]

On peut définir cette notation en utilisant le logarithme complexe

Effectivement (et c'est ce que je sous-entendais dans le message #30). Et le logarithme complexe est juste une autre manière de discuter les problèmes abordés dans ce fil.

[invite5150dbce]

On peut définir cette notation en utilisant le logarithme complexe :



J'ai un livre qui en parle mais j'ai autre chose à faire pour l'instant, j'essaierai de retrouver la partie concernée et de vous en faire part.

c'est bien le problème de la définition du logarithme complexe.
Il faudrait restreindre la définition de cette fonction pour les complexes de la manière suivante.

Soit z un nombre complexe, alors il existe (r;θ) appartenant à IR+*x]-π;π] tel que z=re^iθ

Soit f la fonction définie sur C telle que f : z |-->iθln(r)

[invité576543]

Soit f la fonction définie sur C telle que f : z |-->iθln(r)

f : z |-->iθ+ln(r)

[invité576543]

Mais cette fonction ne vérifie pas toujours l'égalité f(xy) = f(x)+f(y), et on tombe sur les mêmes "risques" que ceux vus dans la discussion qui précède, à savoir oublier que les propriétés vues dans R se prolonge à une fonction de même nom mais sur C.

[invite5150dbce]

f : z |-->iθ+ln(r)

oula la oui, je suis désolé, j'ai été un peu vite

[invite5150dbce]

Mais cette fonction ne vérifie pas toujours l'égalité f(xy) = f(x)+f(y), et on tombe sur les mêmes "risques" que ceux vus dans la discussion qui précède, à savoir oublier que les propriétés vues dans R se prolonge à une fonction de même nom mais sur C.

Oui mais il ne faut pas user abusivement du prolongement des propriétés de IR sans les démontrer. Je suis d'accord avec vous