-1=1

[inviteaf68f0d4]

Bonjour,


Ou est l'erreur ?

Merci
-----

[nono212]

Bonjour,


Ou est l'erreur ?

Merci

L'erreur c'est que

[inviteaf68f0d4]

L'erreur c'est que

pourquoi ?

N'a-t-on pas ?

[Flyingsquirrel]

La fonction racine carrée est définie sur donc avant d'écrire ou il faudrait déjà donner un sens à quand n'est pas un réel positif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf68f0d4]

La fonction racine carrée est définie sur donc avant d'écrire ou il faudrait déjà donner un sens à quand n'est pas un réel positif ou nul.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=i%3Dsqrt(-1)

Et quel sens donne t-on a la racine carre d'un nombre complexe ?
Comment la défini-t-on ?

Autre chose lorsque le discriminant d'un trinôme du second degrés est négatif, ne fait-on pas la même chose ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Juste pour en "rajouter une couche" sur les racines de complexe :
N'a-t-on pas ?

Cordialement,
Duke.

[inviteaf68f0d4]

personne ?

[Thorin]

Autre chose lorsque le discriminant d'un trinôme du second degrés est négatif, ne fait-on pas la même chose ?

Salut,

lorsque l'on a un trinôme du second degré à discriminant négatif, la formule est et : on prend la racine d'un nombre réel positif, parfaitement définie.

Et quel sens donne t-on a la racine carre d'un nombre complexe ?
Comment la défini-t-on ?

Usuellement, on ne définit pas la racine carrée d'un nombre complexe, mais les racines carrées d'un nombre complexe. On peut toujours, évidemment, s'amuser à définir une fonction racine d'un nombre complexe en choisissant arbitrairement l'une des racines, mais on ne le fait généralement pas.


Mais toutefois, supposons que l'on ait , après tout, de nombreuses personnes écrivent ça.
Il reste alors une grande question : tu peux démontrer que pour deux nombres réels positifs, , parce qu'on a défini la fonction racine carrée et tout, et tout...
Cependant, as-tu déjà démontré ça en dehors des nombres réels positifs ? Tu n'as pas le droit d'étendre ainsi le domaine de définition d'une fonction, et puis balancer comme ça que les propriétés vraies sur le domaine initial de définition le sont toujours sur le nouveau domaine de définition ! Ainsi, tu ne peux pas dire, sans démonstration préalable, que , et ce même si tu donnes un sens à la racine d'un nombre complexe.

[hhh86]

Bonjour,


Ou est l'erreur ?

Merci

Soit f la fonction définie par :
f(x)= pour tout x appartenant à [0;+inf[
f(x)=i pour tout x appartenant à ]-inf;0[
Pour tout x appartenant à ]-inf;0[, f(x)²=i²=x
Pour tout x appartenant à ]-inf;0[, x²>0 f(x²)= =-x puisque -x>0
Donc pour tout x appartenant à ]-inf;0[, f(x)²≠f(x²)

[invité576543]

Pour en rajouter une couche :

Usuellement, on ne définit pas la racine carrée d'un nombre complexe, mais les racines carrées d'un nombre complexe.

En particulier, i n'est pas la racine de -1, comme on le voit écrit trop souvent, mais l'une des deux racines de -1, en application directe de qui est cité ci-dessus.

Le choix d'une des deux racines est arbitraire, et on peut changer i en -i dans les formules sans changer les résultats, propriété qu'on peut constater dans :

lorsque l'on a un trinôme du second degré à discriminant négatif, la formule est et

Cordialement,

[inviteaf68f0d4]

A propos du discriminent:

Si
alors

or

Donc ou

C'est de la que vient la formule qui donne les racine d'un trinôme du second degrés non ?

Mais il me semble qu'on a bien utilise pour a complexe.

Mais a ce que j'ai compris cette dernière propriété n'est pas démontrée sur C

Comment expliquez vous cela ?

[Thorin]

ou

Ah, flagrant délit !

En écrivant cette égalité, tu affirmes que . Mais dans ce cas, si la racine d'un nombre complexe (ici i^2) possède deux images, la fonction "racine" n'est plus une fonction (ou alors son ensemble d'arrivée est un ensemble de paires) ! Tu viens donc de mettre les pieds dans une contradiction, entre le moment où dans ton tout premier message, tu écris que la racine de -1 est forcément égale à i (donc -1 n'a qu'une image par la fonction racine), et maintenant, où tu décrètes que la fonction racine peut avoir...2images.

Lorsque l'on établit la formule dans le cas du discriminant négatif, on (en tout cas, moi) prend bien soin de ne pas écrire des choses telles que "racine de -1" ou "racine de i".
Ce que l'on écrit, c'est

puis, si , on écrit que , d'où on tire que , puis on applique une identité remarquable.
Comme tu le vois, on s'en tire parfaitement bien, sans avoir à utiliser quoi que ce soit d'autre que i^2=-1 et les racines de réels positifs.

Tu peux utiliser l'écriture avec a complexe, pour signifier "les 2 racines carrées complexes de a", mais dans ce cas, tu ne peux pas utiliser les propriétés usuelles sur les racines.
Ainsi, lorsque l'on manipule des complexes, on prend l'habitude, plutôt que d'écrire "soit ", de présenter les choses de la manière suivante : "soit b tel que "

En tout état de cause, et de manière plus pragmatique, écrire pour a complexe est fortement déconseillé dans tes copies, car les chances sont grandes (pour ne pas dire infinies) pour que ton prof raye ça d'un trait rouge, surtout en prépa.

[hhh86]

Je suis totalement d'accord avec thorin. La racine carré d'un nombre complexe n'a pas de sens. De plus, une fonction ne peut à un seul élément en associer deux distincts.

Ensuite, par exemple au lieu d'écrire √i si tu chercher l'ensemble des complexes z tels que z²=i, tu peux écrire i avec son écriture complexe : e^iπ/2. Ton équation est alors équivalente à :
z²-e^iπ/2=0
<=>z²-e^2iπ/4=0
<=>z²-(e^iπ/4)²=0
<=>(z-e^iπ/4)(z+e^iπ/4)=0
<=>z=e^iπ/4 ou z=-e^iπ/4
<=>z=((√2)/2)(1+i) ou z=-((√2)/2)(1+i)

[DarK MaLaK]

Salut, pourtant dans son introduction à la relativité, Einstein utilise et non pas i pour parler de l'espace temps... Sinon j'ai un autre paradoxe du même type et je ne suis pas sûr de voir comment le résoudre :



Une propriété de l'exponentielle réelle (la puissance ?) serait-elle abusivement utilisée avec l'exponentielle complexe ? (désolé, je n'ai jamais eu de cours rigoureux sur l'exponentielle complexe ^^)

[nono212]

L'exponentielle complexe, c'est pas la vraie exponentielle, c'est juste car l'argument et les nombres complexes ont les mêmes propriétés que l'expo (somme -> produit, etc).
Mais, à ce que je sache, e^1 "complexe" ne vaut pas le classique e^1 que l'on connaît (réel). C'est juste une notation.

[invité576543]

Salut, pourtant dans son introduction à la relativité, Einstein utilise et non pas i pour parler de l'espace temps...

Évidemment, si Einstein l'a dit, on peut que s'incliner !

Mais est-ce que les profs corrigeant les copies en prépa seront sensibles à l'argument?

[invité576543]

annulé.......

[Thorin]

Salut,

quel sens donnes-tu à la puissance complexe d'un nombre complexe ?

Mais, à ce que je sache, e^1 "complexe" ne vaut pas le classique e^1 que l'on connaît (réel). C'est juste une notation.

Salut,
l'exponentielle complexe n'est pas juste une notation, c'est une fonction très bien définie, donc l'exponentielle réelle n'est que la restriction à R, c'est d'ailleurs la toute première page du Rudin, comme mon prof de maths de term s'amusait à nous le rappeler.

[invité576543]

Une propriété de l'exponentielle réelle (la puissance ?) serait-elle abusivement utilisée avec l'exponentielle complexe ?

Oui. Cela a un rapport étroit avec le cas étudié avant. Cela se voit sous la forme des fausses égalités suivantes:



La double exponentiation a bien un sens clair (est une fonction) si le deuxième exposant appartient à Z. Dans les autres cas, on peut l'interprêter comme une équation ayant plusieurs solutions. Dans le cas cité, le nombre de solutions est infini, et e est bien l'une d'entre elles, mais n'est pas "égal" à une autre solution comme , pas plus que i n'est égal à l'autre solution de x²+1=0.

Cordialement,

[inviteaf68f0d4]

Bon pour récapituler car ce n'est pas très clair dans ma tête.

La racine d'un nombre complexe est définie mais c'est la relation qui n'est pas vérifiée ou du moins qui n'est pas démontrer dans C.

C'est bien cela que vous essayer de me dire ?

Lorsque je revoie mon cours après vous avoir lu j'ai l'impression que celui ci comporte des "erreurs" qui ne sont pas vraiment des erreurs puisque le résultat final est correct. Exemple:

On cherche a résoudre

A un moment donné on arrive a l'égalité:

ou

ou


Or il me semble qu'ici on a utilise que

Comment ce fait-il ?

Merci

[Thorin]

Mon message d'hier de 21h01 te donner le calcul dans le cas général, toi, tu as un cas particulier, donc, tu peux t'y reporter.

Il faut ARRETER d'utiliser le symbole avec a complexe. Tout simplement. Ton prof a-t-il utilisé le symbole ? non. Qu'est-ce qu'il a fait ? il a fait exactement ce que j'ai fait dans mon message de 21h01 où je t'ai prouvé que l'on utilise pas l'égalité que tu veux caser à tout prix.

Les racines carrées d'un nombre complexe sont définies, LA racine carrée d'un nombre complexe, en revanche, ça veut rien dire, c'est pas défini. En conséquence, il n'y a pas de fonction qui a un nombre complexe associe sa racine carrée, en conséquence, on n'utilise pas le symbole "racine carrée"

[invité576543]

La racine d'un nombre complexe est définie

Non. C'est expliqué dans nombre des réponses. La seule chose qui soit définie, c'est la notion de solution d'une équation type x²=z.

On cherche a résoudre (...)

Or il me semble qu'ici on a utilise que

Ben non, justement. Ce n'est pas ce qui a été utilisé. Ce qui a été utilisé c'est juste qu'il y a deux solutions (l'usage du "ou") à l'équation



rien d'autre.

Cordialement,

[Rhodes77]

Bonjour,

Moi ce qui me choque avant tout, c'est d'écrire !
C'est 1 ou -1 parce que 1²=1 et (-1)²=1.
On tombe alors au final sur deux choix possibles : ou bien -1=1 ou bien -1=-1.
Je vous laisse conclure...

[Thorin]

Qu'y a t-il à conclure ?

[Rhodes77]

Vous dites que racine est une fonction et qu'à ce titre elle ne peut associer deux images à un même antécédent, ça ne vaut pas que pour les complexes !
Je trouve tous les développements précédents bien compliqués.
Ou bien -1=-1 et on n'a pas besoin de réinventer l'algèbre, ou bien -1=1 et je vous laisse développer une nouvelle théorie, je n'ai pas cette ambition.
Mon idée n'était que d'éclairer la question du tout premier message qui demandait où se trouvait l'erreur. Une solution avait été oubliée, voilà tout.

Bon weekend.

[Thorin]

Sauf que pour les réels, il est tout à fait correct d'écrire , il n'y a pas à se poser de question de solution, car il n'y a pas d'équation

[ansset]

Bonjour,


Ou est l'erreur ?

Merci

l'erreur c'est qu'il n'y a pas equivalence des egalités mais parfois des implications simples
ecrire i²=-1 n'est pas equivalent à i=sqrt(-1), même si comme dit plus haut on peut chercher les racines de -1


c'est comme quand j'ecris ( un truc connu )
x²+x+1=0 donc
x(x+1) =-1
mais aussi
(x+1)= -x² donc
x(-x²)=-1 donc
-x3=-1 , et x=1
donc 3=1

et non, parceque x3=1 n'est pas equivalent à x=1
x3 =1 => plusieurs solutions dans les complexes dont 2 satisfont l'équation initiale

[ansset]

ici c'est la même chose
les racines de 1 sont -1 ou 1 puisque (-1)²=1
il n'y a que la dernière egalité/conclusion qui pose problème.
on ne peut pas ecrire une equivalence
et ce n'était pas la peine d'embrouiller avec des complexes.

[silk78]

N'y a-t-il pas moyen de définir la racine d'un nombre complexe avec des moitiés d'argument et des racines (réelles) de modules ??

[invité576543]

N'y a-t-il pas moyen de définir la racine d'un nombre complexe avec des moitiés d'argument et des racines (réelles) de modules ??

Si, mais ce n'est pas très utile. Cela ne peut pas se généraliser de manière utile à toutes les puissances 1/n, et les formules applicables sur R ne marchent pas, comme cette discussion le montre abondamment. Sans compter des discontinuités gênantes. Alors pourquoi le faire?

Et du côté "pourquoi ne pas le faire", cette discussion le montre aussi : bien trop piégeux, bien trop de risques de se laisser entraîner par les notations et l'habitude acquise en manipulant des réels.

(La question est très proche de la question si on peut définir un logarithme complexe...)