je trouve pas n pour que Zb"n" soit reél

[invite12900d72]

tout est dans lz fichier attaché je sais pas quoi utiliser la forme exponentielle ou trigonométrique , donnez moi une idée comment faire
merci
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[invite12900d72]

(zb)"n" doit étre un nombre négatif réel

[invite12900d72]

j'ai arg z"n" = p radiane j'ai trouvé n =3 est ce qu'on peut le faire on utilisant la forme trigonométrique

[Seirios]

Bonjour,

j'ai arg z"n" = p radiane j'ai trouvé n =3

Tu n'as pas toutes les solutions ; je te proposes ce raisonnement :

On a qui est équivaut à

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

Soit Z_b=1+i√3
On a |Z_b|=√(1+3)=2
Soit θ un argument de Z_b
On a alors le système suivant :
1=2cos(θ)
√3=2sin(θ)

<=>cos(θ)=cos(π/3)
sin(θ)=sin(π/3)

<=>θ=π/3+2kπ ou θ=-π/3+2kπ, k€Z
θ=π/3+2kπ ou θ=π-π/3+2kπ, k€Z

<=>θ=π/3+2kπ, k€Z

Un argument de Z_b est donc π/3.

On a donc Z_b=2e^iπ/3
D'où pour tout n€IN, Z_bⁿ=2ⁿe^in(π/3)
Par conséquent pour tout n€IN, Z_bⁿ€IR*- éqivaut à :
Arg(Z_bⁿ)=π+2kπ, k€Z
<=>n(π/3)=π+2kπ, k€Z
<=>n=3+6k, k€Z

[invite12900d72]

bonjour j'ai compris la dernière réponse mais l'avant dernière non comment on a trouvé sa .
merci

[invite12900d72]

k€Z pourquoi pas R

[invite5150dbce]

La réponse de Phys2 et la mienne sont équivalentes. Seulement l'une des 2 est plus détaillée que l'autre. Néanmoins sur ce site, le but des intervenants n'est pas de donner une solution complète mais simplement une piste de solution pour que l'auteur du poste qui a un exercice à résoudre comprenne ce qu'il fait juste en étant guidé.


Concernant le k€Z qui intervient ici :
"<=>cos(θ)=cos(π/3)
sin(θ)=sin(π/3)

<=>θ=π/3+2kπ ou θ=-π/3+2kπ, k€Z
θ=π/3+2kπ ou θ=π-π/3+2kπ, k€Z"

Un théorème que tu as du voir en première est :
cos(x)=cos(a) si et seulement si x=a+2kπ ou x=-a+2kπ.
sin(x)=sin(a) si et seulement si x=a+2kπ ou x=π-a+2kπ.

Cela se comprend aisément en traçant un cercle trigonométrique puisque 2kπ correspond à un tour de cercle.

Je vais te faire une démonstration pour la première proposition :
cos(x)=cos(a) si et seulement si x=a+2kπ ou x=-a+2kπ.
1/Montrons que si a=b+2kπ ou a=-b+2kπ, alors cos(a)=cos(b) :
-->On suppose a=b+2kπ avec k€Z
Or comme cos est périodique de période 2π, alors pour tout x appartenant à IR cos(x+2π)=cos(x)
Donc pour tout n€Z, cos(x+2nπ)=cos(x)
D'où cos(a)=cos(b+2kπ)=cos(b)

--> On suppose a=-b+2kπ avec k€Z
Donc cos(a)=cos(-b+2kπ)=cos(-b)
Or comme cos est paire, alors pour tout x appartenant à IR, cos(-x)=cos(x)
Donc cos(a)=cos(-b)=cos(b)

Par conséquent a=b+2kπ ou a=-b+2kπ avec k€Z ==> cos(a)=cos(b)


2/Montrons que si cos(a)=cos(b), alors a=b+2kπ ou a=-b+2kπ avec k€Z

-->On suppose cos(a)=cos(b)
il existe donc (α, β) appartenant à ]-π;π]² et (k,k') appartenant à Z² tels que a=α+2kπ et b=β+2k'π car {x+2yπ | x appartient à ]-π;π] et y appartient à Z}=IR
Donc d'après 1, cos(α)=cos(β) et comme cos est paire, alors cos(|α|)=cos(|β|)

On raisonne par l'absurde et on suppose |α|≠|β|
Donc |α|<|β| ou |α|>|β|
Donc comme cos est strictement décroissante sur [0;π] et puisque (α, β) appartient à ]-π;π]², alors (|α|, |β|) appartient à [0;π]², on a :
cos(|α|)>cos(|β|) ou cos(|α|)<cos(|β|)
Donc cos(|α|)≠cos(|β|), ce qui est absurde

Il en résulte que |α|=|β|
Par conséquent α=β ou α=-β
Ce qui signifie que a=α+2kπ et β=b-2k'π
<=>(a=α+2kπ et α=b-2k'π) ou (a=α+2kπ et -α=b-2k'π)
<=>(a=b-2k'π+2kπ et α=b-2k'π) ou (a=-b+2k'π+2kπ et -α=b-2k'π)
==>a=b+2(k-k')π ou a=-b+2(k+k')π
Il existe donc l et l' appartenant à Z tels que a=b+2lπ ou a=-b+2l'π

Par conséquent cos(a)=cos(b) ==> a=b+2kπ ou a=-b+2kπ avec k€Z

Il en résulte que cos(a)=cos(b) <=> a=b+2kπ ou a=-b+2kπ avec k€Z