Déterminer les coordonnées d'un point sur une droite

[Loot]

Bonjour,

Est-il possible de déterminer les coordonnées d'un point sur une droite tel que la droite passant par ce point et un autre point soit perpendiculaire à la première droite ?

Pour clarifier ma question, peut-on trouver les coordonnées de Q, connaissant P et l'équation de la droite ci-dessous ?



Merci.
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[invite7f18ddce]

Par le projeté orthogonal, et la distance d'un vecteur.

[cpalperou]

Oui,
2 inconnues (X_Q;Y_Q) donc, il faut 2 équations:
la première, en écrivant que le produit scalaire entre PQ et un vecteur de la droite est nul.
La deuxième en disant que Q appartient à la droite dont tu as l'équation.
Bye

[silk78]

Une autre solution est de raisonner directement avec les équations cartésiennes des droites.

En effet, si a est non nul alors les droites D:y=ax+b et D':y=cx+d sont perpendiculaires si et seulement si ac=-1.
Donc ici tu peux trouver le coefficient directeur c de la droite D'=(QP). Puis en utilisant les coordonnées de P tu peux fixer d en fonction de x_p et y_p.

Puis il te suffit de résoudre l'équation y_q=ax_q+b=cx_q+d pour trouver ton point Q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Bonjour,

Est-il possible de déterminer les coordonnées d'un point sur une droite tel que la droite passant par ce point et un autre point soit perpendiculaire à la première droite ?

Pour clarifier ma question, peut-on trouver les coordonnées de Q, connaissant P et l'équation de la droite ci-dessous ?



Merci.

Tout à fait :

Petite démonstration :

Soit d la droite d'équation ax+by+c=0 avec (a;b) différent de (0,0)
Soit P(x_P;y_P)
Soit Q(x_Q;y_Q) le point de d tel que (PQ) soit perpendiculaire à d

u(-b;a) est un vecteur directeur de d et (PQ) est perpendiculaire à d donc vecteur PQ et vecteur u sont orthogonaux
Par conséquent PQ.u=0
<=>-b(x_Q-x_P)+a(y_Q-y_P)=0
<=>-bx_Q+bx_P+ay_Q-ay_P=0

Or Q(x_Q;y_Q) est un point de d donc ses coordonnées vérifient l'équation de d
On a donc ax_Q+by_Q+c=0

Pour déterminer les coordonnées de Q, il faut donc résoudre le système suivant :
-bx_Q+bx_P+ay_Q-ay_P=0
ax_Q+by_Q+c=0

[Loot]

Merci à vous tous pour votre aide.
Tout ça me revient petit à petit.