Déterminer coordonnées d'un point

[invite1671eb5e]

Bonsoir tout le monde !
J'ai un exercice à faire, mais je bloque sur certain point :


"f(x) = (2-lnx)lnx sur ]0 ; +inf[

La figure ci après donne la courbe représentative de la fonction dans un repère othonormal. Cette courbe couple l'axe des abscisses en A(1;0) et en B.
La tangente en C à la courbe est // à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe coupe l'axe des ordonnées en D"

Je vous ai mis l'énoncé pour que ce soit plus simple ^^

Donc mon premier problème : Déterminer l'abscisse du point B, les coordonnées de C et l'ordonnée de D (On demande les valeurs exactes)
J'ai vraiment du mal sur ce problème qui parait à première vu "facile"

J'espère en tout cas que quelqu'un pourra m'aider

Merci d'avance


Ahhh!
J'ai oublié, on demande de trouver que g(x) = x[f(x) + 2lnx - 4] soit UNE primitive de f sur 0 ; +inf ...
J'ai beaucoup de mal aussi à trouver ça ! je trouve pas du tout ça :S
MERCIIII
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[invite1671eb5e]

Perso, j'ai essayé plusieurs trucs :
Comme : Yb-Ya / Xb-Xa ...
Enfin j'ai utilisé des trucs je pense "stupide" alors que ça doit être vraiment facile !
J'ai passé trop de temps sur ce machin alors que :S

[Duke Alchemist]

Bonsoir et bienvenue à toi.

Tout d'abord, il faut t'aider de l'énoncé et savoir l'interpréter en terme d'équations.

En effet, tu as :

... Cette courbe coupe l'axe des abscisses en A(1;0) et en B.

Il te faut résoudre f(x)=0 et tu connais déjà une solution (1 en l'occurence)... reste à trouver la deuxième
(Un produit est nul si ...)

Ce lien te permettra de te rappeler de l'équation de la tangente à une courbe pour les deux points suivants.

La tangente en C à la courbe est // à l'axe des abscisses

Une fois l'équation de la tangente déterminée (en un point quelconque), quelle relation doit-elle vérifier pour être parallèle à l'axe des abscisses ?
De cette relation tu devrais trouver la valeur de l'abscisse de C.

et la tangente en A à la courbe coupe l'axe des ordonnées en D

Toujours la même tangente mais ici passant en A donc les coordonnées de A vérifie l'équation de cette tangente. Après, il ne reste plus qu'à écrire cette équation de manière à vérifier l'intersection avec l'axe des ordonnées.

Cordialement,
Duke.

[invite1671eb5e]

Merci beaucoup pour votre aide c'est génial !!!!!

Alors pour B voici ce que j'ai fais, j'espère que c'est juste

f(x)=0
(2- lnx)lnx = 0
2-lnx = 0
lnx = 2
x = e²

ET

lnx= 0
x = 1

x=1 est l'abscisse en A, donc Xb = e² d'où B(e² ; 0)
(J'ai un petit doute car sur le graphique à côté, B coupe l'axe des abscisse à environ 7 .... Est-ce normal ?)

Pour C :
En C, la tangente est horizontale. L'abscisse de C est solution de f'(x) = 0 ( f'(x) = 2(1-lnx) / x )

1- lnx = 0
ln = 1
x = e

f(e) = (2- lne) lne = 1 donc C (e ; 1) ? C'est ça ?

Et enfin pour D :
La tangente à Cf au poin A à pour équation : y= f'(Xa)(x-Xa) + f(Xa)
On a Xa = 1
Donc y = f'(1)(x-1) + f(1)
= 2(x-1) + 0
y = 2x - 2
L'ordonnée de D est à l'origine de cette droite donc Xd = -2 d'où : D(0 ; -2)
?

Je trouve mes résultats bizarre, mais en tout cas, j'espère avoir une réponse de votre part pour me dire si oui ou non j'ai des fautes

-

Par contre je bloque toujours sur la primitive de f(x) = (2-lnx)lnx
Il faut que : g(x) = x[f(x) + 2lnx - 4] (g étant la primitive) ...
Mais je ne trouve pas :'(

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec6a76307]

Bonjour

Premièrement, pour B, quand on résoud une équation produit, ce n'est pas la solution x1 ET la solution x2, mais l'une OU l'autre. Petit point de détail, mais qui a son importance
On dit ET quand les 2 conditions doivent être réalisées en même temps. Or, ici, x=1 OU BIEN x=e2...
De plus, combien vaut e2 ?...

Pour le reste, je te laisse revérifier

Enfin, pour g(x)...
Quelle est la définition d'une primitive de f(x) ? Quelle méthode pour prouver ton résultat peux-tu en déduire ?

Bon courage

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Tes résultats me semblent corrects.
Pour la valeur proche de 7, as-tu tapé e² sur ta calculatrice, juste pour voir ?


Pour la détermination d'une primitive de f, vue la fonction, tu as du voir en cours une méthode qui s'appelle l'intégration par partie, non ?

où u, v et leurs dérivées sont des fonctions de x.

Si c'est le cas, il suffit d'utiliser cette méthode avec l'astuce suivante :


Cordialement,
Duke.

EDIT : Tout compte fait, en relisant l'énoncé, je me rends compte que ce que propose Djeordjes est le plus adapté.
Queoiqu'il en soit la méthode de l'IPP sera bientôt à savoir appliquer...
Re-EDIT : J'avais tiqué aussi sur le "ET" mais j'ai oublié d'en parlé ... Heureusement, Djeordjes est encore là. Merci.

[invite1671eb5e]

Bonjour,

Merci pour votre rectification concernant le "ET"

E = 1
Donc E² = 2 c'est vraiiiii
Donc B( 2 ; 0)

Le problème c'est que sur la représentation graphique accompagnée, B coupe à vu d'oeil, l'axe des abscisses en 7 ... Ca n'a pas d'importance ?

Pour les autres, j'ai re revérifier, ça me semble bon !
C'est à rendre demain donc j'espère que j'aurais confirmation de votre part xD

En ce qui concerne la primitive, la 1ere chose qui me vient à l'esprit c'est bien sur la définition : "Si U est une fonction + est dérivable et si f(x) = u'(x) / u(x) alors une primitive de f sera la fonction : F(x) = ln(u (x)) + k
Mais le problème est que je n'arrive pas à faire la primitive de la fonction ! Je suis sérieusement perdu et je stress parce qu'il faut le rendre demain

EDIT : Duke Alchemist je lis ton commentaire xD

[invitec6a76307]

Premièrement e=1, c'est faux, archi faux, je ne veux plus voir ça...

tape sur ta calculatrice e^(2), et tu verras... Ne pas remettre tout tes calculs justes en cause.


Ensuite, pour cette primitive, essaie de le traduire en français.

Soit f une fonction de x. Une primitive F de f est une fonction de dérivée ... ?

Donc, pour prouver que F est une primitive de f, il suffit de ... ?

[Duke Alchemist]

E = 1
Donc E² = 2 c'est vraiiiii
Donc B( 2 ; 0)

Euh... c'est quoi ça ??

e² = 7.38905609893 (d'après ma calculatrice)
e = 2,718... et pas 1

EDIT : Aujourd'hui, c'est ma journée barbecue ?!... Des "grillades" en cascade

[invitec6a76307]

Oui, déjà e=1, beurk

Ensuite, 1^2 = 2, re beurk mais puissance 210...

C'est le genre d'erreur à ne plus faire...

[invite1671eb5e]

EDIT² :

L'intégration par partie de me dit absolument rien. Je suis sur que nous n'avons pas encore vu ça !! o_O

Donc pour e² ... Je laisse e² ou je mets 2 ? (Si c'est égal à 2 car je ne sais pas comment faire e² sur ma calculatrice car quand je fais SHIFT ln puis ² sur ma casio, ça me met Syn ERROR :S)

Et pour la primitive je bloque encore et toujours !J'en peux plus

EDIT^3 :

Mince c'est ln(e) qui fait 1 lol désolé !!!!!!!
Et 1^2 = 1 Désolé faute de frappe :S

Et le e sur ma calculatrice ça ne marche pas ... :/

[Duke Alchemist]

Premièrement e=1, c'est faux, archi faux, je ne veux plus voir ça...

Oh, tu en verras bien d'autres encore

Laisse e² !
Sur ta calculatrice, tu fais SHIFT ln... 2...)


Pour la primitive, complète la phrase de Djeordjes au message #8

[invitec6a76307]

Tape e(2), tout bêtement... Ou alors ((e(1))^2)...

F est une primitive de f si, en dérivant F, on trouve ... ?

du coup, pour montrer que g est une primitive de f, il suffit de .....



Duke, oui, je sais, mais ça ne mange pas de pain
Tant que ce n'est pas des choses du genre (1 + x)^2 = 1 + x^2

[invite1671eb5e]

F est une primitive de f si, en dérivant F, on trouve ... ?

du coup, pour montrer que g est une primitive de f, il suffit de .....

Sérieusement j'ai vraiment du mal avec cette primitive !
Je ne comprend rien de chez rien :/

Et en ce qui concerne la calculatrice, je n'ai que e^x ... Rien d'autre ...
Mais comme ça : ((e(1))^2)
Ca marche super Merci !

[Duke Alchemist]

Quand on te donne la primitive d'une fonction, que dois-tu faire pour retrouver la fonction ?

pour e² (encore), tu tapes :
e^x (c'est le SHIFT ln)
2 (pas ²... mais 2)
)
et ça marche aussi.
Il te suffit de remplacer le 1 entre parenthèses par le 2, en fait.

[invitec6a76307]

Un petit schéma pour que tu comprennes mieux :

dérivée
F ---------------------> f
primitive
f ----------------------> F


La "primitivation", que l'on appelle plutôt intégration, est l'"opération contraire" de la dérivée.
Dire que F est une primitive de f, ou que f est la dérivée de F, c'est pareil !!

Simplement, comme le laisse supposer ma phrase ci dessus, une fonction a une seule dérivée, alors qu'elle a une infinité de primitive (à une constante près).

Donc pour prouver que F est une primitive de f, il suffit de montrer que f est ?

[invite1671eb5e]

Donc pour prouver que F est une primitive de f, il suffit de montrer que f est... ?

Sa dérivée ?!

Effectivement avec e² ça marche ! J'avais taper e^2

[invitec6a76307]

Exactement...

Et pour cela, il suffit de faire quoi avec la fonction g ?

[Duke Alchemist]

Sa dérivée ?!

Effectivement avec e² ça marche ! J'avais taper e^2

Yapee !...

[invite1671eb5e]

Heu ... faire la dérivée ... ?

x[f(x) + 2lnx - 4] (--> En fait le f(x) me pose problème là :/)

= x [f(x) + (2/x)] ? Non ? Mais après :S

[invitec6a76307]

Effectivement, la méthode est bonne, il faut dériver g...

Par contre, il faut bien s'y prendre... on ne dérive pas un produit comme une somme...

(uxv)' = u' x v + u x v'

Avec ça, et un peu de sueur, tu devrais y arriver...

D'ailleur, soit dit en passant, tu sais déjà à quoi tu dois arriver, non ?

[invite1671eb5e]

Oh m*rde je suis vraiment stupide !!
Je connais en plus (uv)' !!
Vraiment désolé pour mon manque de sérieux !!! C'est la cata !!

Donc oui je sais à quoi il faut que j'aboutis xD

Donc :

x [f(x) + 2lnx - 4]
x [f(x) + (2/x)] --> Je ne sais pas si il faut débuter par cette méthode ?

u(x) = x
u'(x) = 1

v(x) = f(x) + (2/x)
v'(x) = là je bloque !

[invitec6a76307]

D'où sors ce x [f(x) + (2/x)] ?

A quoi est égal v(x) ?

Après on pourra dériver.

Quelle est la dérivée de f(x) + g(x) ?

[invite1671eb5e]

Alors ça doit être :

x [f(x) + 2lnx - 4]

u(x) = x
u'(x) = 1

v(x) = f(x) + 2lnx -4
v' (x) = f(x) + (2/x) -0 non ?

Quelle est la dérivée de f(x) + g(x) ?

f'(x) + g'(x)

[invitec6a76307]

Oui, et donc, la dérivée de f(x) + 2lnx -4 ?

[invite1671eb5e]

Oui, et donc, la dérivée de f(x) + 2lnx -4 ?

Comment ça ?
Si v(x) = f(x + 2lnx - 4
v'(x) = f(x) + (2/x) - 0 non ?

[invitec6a76307]

Ben il manque un ', il me semble, ou alors, je ne le vois pas...

[invite1671eb5e]

Si v(x) = f(x) + 2lnx - 4
v'(x) = f '(x) + (2/x) - 0 ?

[invite1671eb5e]

Donc
f(x) + 2lnx - 4 + x(f'x) + (2/x) ?
= f(x) + 2lnx - 4 + f'(x²) + 2
= f(x) + 2lnx - 2 + f'(x²)

Mais là je bloque

[Duke Alchemist]

Re-

Vas-y par étapes et doucement.

x f '(x) ne fait pas f '(x²) !!