(in)Equation "relativement" compliquée(s)

[invite35de8657]

Salut !

J'ai besoin de votre aide pour une équation et une inéquation qui, à mon niveau, me paraît difficile. Il doit y avoir moyen de la rendre plus simple ou bien c'est que je me trompe de piste. Enfin, bref, je vous explique si vous le voulez bien.

On me donne la fonction f définie sur R - {1} car f(x) = x³/(x-1)²

On me pose plusieurs question... Montrer que la droite d : y = x + 2 est asymptote à Cf (courbe représentative de la fonction f) en +∞ et -∞. Étudier la position de Cf par rapport à (d)... Tout ça, j'ai fait, que ce soit juste ou faux après, c'est autre chose. Mais là où je bloque, c'est lorsqu'on me demande de montrer que Cf et (d) se coupent en un point A...

Cela revient, je crois, à poser l'équation suivante :
x³/(x-1)² = x + 2

Mais dans ce cas, je ne sais absolument pas comment faire ? Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Autre chose, on me demande de déterminer le plus petit entier naturel n tel que pour tout x > ou = n, x³/(x-1)² - (x+2) < ou = 0,1.

Je dois résoudre l'inéquation ?

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[Jon83]

Salut !


Cela revient, je crois, à poser l'équation suivante :
x³/(x-1)² = x + 2

Mais dans ce cas, je ne sais absolument pas comment faire ? Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour!
Tu réduis au même dénominateur, tu simplifies et tu vas tomber sur une équation extrêmement simple.

[invite35de8657]

Bonjour!
Tu réduis au même dénominateur, tu simplifies et tu vas tomber sur une équation extrêmement simple.

Salut Jon89, merci de ta réponse. Si je te suis :

x³/(x-1)² = x+2

x³/(x-1)² = (x+2)(x-1)²/(x-1)²

x³/(x-1)² = x³-3x+2/(x-1)²


x³/(x-1)² = (x+2)(x² -2x+1)/(x-1)²

Mais je ne vois pas comment poursuivre...

[Jon83]

(x-1)² étant différent de zéro, tu multiplies les deux membres par cette valeur --> le dénominateur commun disparaît!
Tu continues le développement du deuxième membre et tu simplifies.
La solution deviendra évidente!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Cela revient, je crois, à poser l'équation suivante :
x³/(x-1)² = x + 2

Bonjour,

Pas exactement ! Cela revient à montrer que x³/(x-1)² = x + 2 + g(x), avec (et même chose pour -∞)

[Jon83]

Bonjour,

Pas exactement ! Cela revient à montrer que x³/(x-1)² = x + 2 + g(x), avec (et même chose pour -∞)

Euh...pour trouver l'intersection de de courbes f(x) et g(x), il faut résoudre l'équation f(x)=g(x) , non?
TeenLife me semble donc sur la bonne voie...

[Jon83]

(x-1)² étant différent de zéro, tu multiplies les deux membres par cette valeur --> le dénominateur commun disparaît!
Tu continues le développement du deuxième membre et tu simplifies.
La solution deviendra évidente!!!

Bon, tu as dû trouver x=1/2 ?
Pour info, voici l'allure des courbes obtenue avec Maple V:
- en rouge la courbe f(x)
- en vert la droite y=x+2
Tu vois qu'elles se coupent en x=1/2...

[invite35de8657]

Jon83, excuse-moi du temps de réponse, j'étais parti faire une course.

Ton résultat est le bon car j'ai moi même tracé les courbes sur ma calculatrice, et c'est effectivement cela, mais je n'y parviens pas. Il y a sûrement un "bug" dans mon raisonnement. Le voici :

x³/(x-1)² = (x³-3x+2)/(x-1)²

x³ * (x-1)²/(x-1)² = (x³-3x+2) * (x-1)²/(x-1)²

x³ = x³-3x+2

0 = -3x+2

x = -2/-3 = 2/3

Où est-ce que j'ai été étourdi ou dans l'erreur totale ?

[Jon83]

-->

[invite35de8657]

-->

Ah, je vois, tu as multiplié les numérateur par (x-1)².

=


Peux-tu me préciser pour ce passage :



Le x que j'ai mis en gras, additionner à -4x, il ne donne pas -3x.

Merci pour ton aide.

[Jon83]

Oups...Coquille!!! Tu as raison....

[invite35de8657]

Yes, je trouve pareil. J'ai eu du mal, mais j'ai fini par comprendre. Je te remercie beaucoup !

Si ce n'est pas trop te demander, peux-me mettre sur la piste de l'inéquation de l'énoncé qui est apparemment à résoudre (les quotiens et les cubes m'effraient ^^) :

Autre chose, on me demande de déterminer le plus petit entier naturel n tel que pour tout x > ou = n, x³/(x-1)² - (x+2) < ou = 0,1.

Je dois résoudre l'inéquation ?

[Jon83]

En quelle classe es-tu?

[invite35de8657]

En quelle classe es-tu?

Terminale ES.

[Jon83]

OK! Donc tu connais les trinômes du second degré...
Comme précédemment, tu réduis ton inéquation au même dénominateur en remarquant que celui ci (x-1)² est toujours positif: donc le sens de l'inéquation ne changera pas. Après développement et simplification, tu vas tomber sur un trinôme du second degré que tu sais étudier!!!

[invite35de8657]

Suis-je censé tombé sur :

0 < ou = 0,1x² - 3,2x +2,1

[Jon83]

Je trouve:

[invite35de8657]

J'ai procédé ainsi :

x³/(x-1)² - (x+2) <= 0,1

x³/(x-1)² <= 2,1 + x


x³/(x-1)² <= (2,1+x)(x-1)²/(x-1)²


x³(x-1)²/(x-1)² <= (2,1+x)(x-1)²(x-1)²/(x-1)²

x³ <= (2,1+x)(x-1)²

x³ <= (2,1+x)(x²-2x+1)

x³ <= 2,1x² - 4,2x + 2,1 + x³ -2x² + x

x³ <= x³ + 0,1x² - 3,2x + 2,1

0,1x² - 3,2x + 2,1 >= 0

[Jon83]

Oui, tu as raison... j'ai pris (x-2) au lieu de (x+2)...désolé

[invite35de8657]

Oui, tu as raison... j'ai pris (x-2) au lieu de (x+2)...désolé

C'est rien les coquilles. Je te suis très reconnaissant de m'accompagner.

J'ai calculé delta avec a = 0,1 ; b = -3,2 ; c = 2,1
b² - 4ac = 10,24 - 0,84 = 9,4

x₁ = 3,2 - \/¯ (9,4) / 0,2

x₂ = 3,2 + \/¯ (9,4) / 0,2

J'espère que c'est juste. Mais ce que je ne comprends pas, c'est comment exploiter ces informations pour déterminer l'entier naturel le plus petit nommé n, pour lequel x³/(x-1)² - (x+2) <= 0,1.

Je peux juste dire que :
sur ]-∞;x₁], le polynôme x3 + 0,1x2 - 3,2x + 2,1 est positif.
sur [x₁;x₂], le polynôme x3 + 0,1x2 - 3,2x + 2,1 est négatif.
sur [x₂;+∞], le polynôme x3 + 0,1x2 - 3,2x + 2,1 est positif.

[Jon83]

Les racines du trinômes sont x1=0.67 et x2=31.33
Comme le coefficient de x² est positif, le trinôme sera positif à l'extérieur des racines. donc les solution sont x<=x1 et x>=31.33
Bonne soirée...

[invite35de8657]

Les racines du trinômes sont x1=0.67 et x2=31.33
Comme le coefficient de x² est positif, le trinôme sera positif à l'extérieur des racines. donc les solution sont x<=x1 et x>=31.33
Bonne soirée...

J'ai compris ! Merci pour ton aide !

[invite35de8657]

J'ai compris ! Merci pour ton aide !

En fait j'ai été trop précipité. Il y a un truc que je ne capte pas, j'ai deux solutions, mais on me demande un seul nombre n. Je suis dérouté... Surtout, c'est le truc "l'entier le plus petit", donc en gros c'est censé être le minimum de x3/(x-1)2 - (x+2) ? Je suis confus... Puis-je trouver la réponse à l'aide de la calculatrice (ou au moins m'aider à la comprendre) ?