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3^2n - 2^n est multiple de 7



  1. #1
    KuFuK

    3^2n - 2^n est multiple de 7


    ------

    Bonjour,

    Je dois faire cet exercice de math, qui est pourtant simple, mais je bloque à un endroit.

    Je dois procèder par reccurence, j'initialise pn qui est vrai pour P1 et P0.

    Puis je passe à l'hérédité, d'ou P(n+1) = 3^(2n+1)-2^(n+1) = 3^2n x 3 - 2^n x 2.

    Mais à partir de ce moment, je ne sais pas comment faire pour retomber sur ma premiere proposition Pn.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    KeM

    Re : 3^2n - 2^n est multiple de 7

    Je crois que tu pars du mauvais endroit.
    Tu as P(n) : 3^2n - 2^n = 7k pour k élément de Z
    Pars de cette expression et bricole pour arriver à 3^2(n+1) - 2^(n+1) = 7k' pour k' élément de Z où k' peut être égal à par exemple 7k + 1 qui est forme un entier relatif.

  4. #3
    Seirios

    Re : 3^2n - 2^n est multiple de 7

    Sinon tu peux utiliser les congruences, ce qui tient en une ligne...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    vrishnak

    Re : 3^2n - 2^n est multiple de 7

    P(n) = 3^2n - 2^n = 7.a
    P(n+1) = 3^(2(n+1)) - 2^(n+1)

    = 3²(3^2n - 2^n) + 3².2^n - 2(2^n -3^2.n) - 2.3^2n
    =(3^2n - 2^n) (3²-2) + 3²2^n -2x3^2n

    ca donne

    P(n+1) = 7.P(n) - [2.3^2n-3².2^n]
    = 7.Pn - [18. 3^(2n-2) - 18.2^(n-1)] = 7.Pn - 18 P(n-1)


    Note : 18 = 3² * 2

    P(n+1) = 7. P(n) - 18 P(n-1) or P(n-1) et P(n) multiples de 7 donc P(n+1) multiple

  6. A voir en vidéo sur Futura

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