Bonjours, je suis un élève de seconde et j'ai ce petite exercice à résoudre, et au bout d'un certain temps de recherches ( 1h30 environ ) je ne trouve pas la réponse, serait-il possible de me résoudre l'exercice tout en m'expliquant ?
on considère 2 réels strictement positifs a et b
Prouver que:
2 (racine de ( a² + b² ) ) > ( a + b ) ( racine de 2 )
(ou bien le démontrer avec une figure )
( le signe > inclus égal )
Merci d'avance
Quand on a 2 nombres positifs A et B, il est équivalent de dire que A>B ou A²>B².
Dans ton cas, ça devient facile. Une interprétation géométrique, c'est moins simple dans ton exemple...
En fait, passe au carré des deux côtés de l'inégalité : tu vas obtenir 4(a²+b²)>2(a+b)². Développe, simplifie, supprime, et tu vas retomber sur quelque chose que tu sauras exploiter.
Bonjour!
Pour le démontrer avec une figure, tu sais que rac(a²+b²) correspond à l'hypoténuse d'un triangle, donc pour la partie gauche tu alignes deux hypoténuses de triangles avec a et b comme côtés de l'angle droit.
A droite, tu pars d'un triangle avec a+b aux deux côtés de l'angle droit, soit hypoténuse = rac[(a+b)²+(a+b)²] = rac[2(a+b)²]=(a+b)rac(2)
Voilà pour y faire apparaître sur une figure si tu réorganises tout ça! Après, je ne suis pas convaincu qu'une figure, faite avec des longueurs a et b précises (prises aléatoirement certes mais définies quand même) soit une démonstration suffisante pour cela.
Enfin bon^^
Bonjour.
Pour la figure, je pensais à un carré de côté a+b et en le coupant de manière à faire apparaître les carrés de surface axa et bxb ainsi que les rectangles de surface axb (découpage classique).
Les longueurs proposées dans l'énoncé apparaîtront très vite en allant d'un sommet au sommet opposé.
Il n'y a plus qu'à montrer l'inégalité. On arrive même très vite à percevoir le cas de l'égalité.
Duke.
Démontrer avec une figure c'est peut-être un peu se compliquer la vie. En élevant au carré des deux côtés de l'inégalité, on obtient 4(a²+b²)>2(a+b)²
soit 2(a²+b²)>a²+2ab+b² soit a²+b²>2ab soit a²-2ab+b²>0 soit (a-b)²>0.
On a bien (a-b)²>0, donc on a démontré l'inégalité.
Re-Je l'avais bien fait de cette manière également.Envoyé par RForEver
Je proposais une possibilité pour le faire avec une figure comme proposé dans l'énoncé de départ, c'est tout
Duke.
Bien vu, bravo ! Évidemment, c'est plus facile par le calcul, le raisonnement géométrique, c'est pour le fun !Bonjour.
Pour la figure, je pensais à un carré de côté a+b et en le coupant de manière à faire apparaître les carrés de surface axa et bxb ainsi que les rectangles de surface axb (découpage classique
Les longueurs proposées dans l'énoncé apparaîtront très vite en allant d'un sommet au sommet opposé.
Il n'y a plus qu'à montrer l'inégalité. On arrive même très vite à percevoir le cas de l'égalité.
Duke.
Je remercie RForEver en particulier, c'est sa méthode que j'ai le mieux compris
Le raisonnement géométrique m'intéresse si Duke voudrez bien m'expliquer la démarche plus précise sur la construction de cette figure, je l'écouterais avec grand plaisir
Merci bien
Bonsoir.Face à tant d'engouement, que dire ?
Voir le fichier joint (après validation d'un modérateur).
Cordialement,
Duke.
Merci Duke
Bonne continuation
Cordialement.
bonjour ,j'espere que je vous aide :P
2 (racine de ( a² + b² ) )² > ( a + b ) ( racine de 2 )²
4a² +4b²>(a² + b²+2ab)*2
4a² +4b²>2a²+2b²+4ab
4a² +4b²-2a²-2b²>4ab
2a²+2b²-4ab>0
a²+b²-2ab+a²+b²-2ab>0
(a-b)²+(a-b)²>0
Alors on a obtenu une somme de 2 nombre positifs c'est surement >o
a bientot
