Inéquation

[Jon83]

Bonjour!

pour x, y appartenant à R+, je n'arrive pas à démontrer que:
sqrt(xy) < (x+y)/2.
Merci d'avance pour votre aide...
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[invitebbe24c74]

Bonjour,

Eleve les 2 expressions aux carrés. A savoir que pour tout 0<a<b, on conserve 0<a²<b²

[invitec8b46424]

Bonjour,
on sait que 0< (x-y)²
alors 0< x²-2xy+y² alors 4xy < x² + 2xy+y²

donc 4xy < (x+y)² par conséquent xy < ( (x+y)/2 )²
donc sqrt(xy) < (x+y)/2

Voila

[invitec8b46424]

avec x différent de y

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebbe24c74]

Raisonnement faux !!!!

En oubliant les contraintes de samil, il suffit de remarquer qu'en elevant au carré chaque expression, on a d'un coté la prduit xy, et de l'autre (x²/4 + y²/4 + xy).
D'un coté tu as xy et de l'autre xy + quelque chose.
Ce quelque chose étant une somme de carrés (forcément positif), alors tu as bien ton inégalité.

Maintenant que tu as le cheminement, il te suffit de construire ton raisonnement dans l'autre sens (comme tu dois savoir le faire)

[Jon83]

OK, super! Bien vu pour l'astuce!!!
NB: oui, j'ai oublié de préciser que x différent de y...

[invitec8b46424]

Pour passez de 0< x² -2xy +y² à 4xy < x² +2xy +y²
on ajoute 4xy des deux côtés

De rien Jon83

[invitebbe24c74]

En effet, mal lu un des signes.

Ca ne me parait pas très "naturel" personnelement. Jon choisira la façon qui lui convient le mieux ^^