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Inéquation



  1. #1
    Jon83

    Inéquation

    Bonjour!

    pour x, y appartenant à R+, je n'arrive pas à démontrer que:
    sqrt(xy) < (x+y)/2.
    Merci d'avance pour votre aide...

    -----


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  3. #2
    Thibaut42

    Re : Inéquation

    Bonjour,

    Eleve les 2 expressions aux carrés. A savoir que pour tout 0<a<b, on conserve 0<a²<b²

  4. #3
    samil

    Re : Inéquation

    Bonjour,
    on sait que 0< (x-y)²
    alors 0< x²-2xy+y² alors 4xy < x² + 2xy+y²

    donc 4xy < (x+y)² par conséquent xy < ( (x+y)/2 )²
    donc sqrt(xy) < (x+y)/2

    Voila

  5. #4
    samil

    Re : Inéquation

    avec x différent de y

  6. #5
    Thibaut42

    Re : Inéquation

    Raisonnement faux !!!!

    En oubliant les contraintes de samil, il suffit de remarquer qu'en elevant au carré chaque expression, on a d'un coté la prduit xy, et de l'autre (x²/4 + y²/4 + xy).
    D'un coté tu as xy et de l'autre xy + quelque chose.
    Ce quelque chose étant une somme de carrés (forcément positif), alors tu as bien ton inégalité.

    Maintenant que tu as le cheminement, il te suffit de construire ton raisonnement dans l'autre sens (comme tu dois savoir le faire)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jon83

    Re : Inéquation

    OK, super! Bien vu pour l'astuce!!!
    NB: oui, j'ai oublié de préciser que x différent de y...

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  10. #7
    samil

    Re : Inéquation

    Pour passez de 0< x² -2xy +y² à 4xy < x² +2xy +y²
    on ajoute 4xy des deux côtés

    De rien Jon83

  11. #8
    Thibaut42

    Re : Inéquation

    En effet, mal lu un des signes.

    Ca ne me parait pas très "naturel" personnelement. Jon choisira la façon qui lui convient le mieux ^^

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