inéquation

[invite971f543b]

Bonjour! comment montrer que (1+t)ⁿ >> 1+nt ?
pour tout t >>0 et pour tout n entier
( >> : supérieur ou égal)
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[Jeanpaul]

La formule du binôme doit te donner cela à l'aise. Sinon une récurrence peut-être.

[fiatlux]

salut

Par exemple par récurrence:
Tu vérifies si c'est vrai pour le premier terme (n=0 ou n=1, peu importe):
--> vrai pour n=0
OU ALORS
--> vrai pour n=1

Tu poses l'hypothèse que c'est vrai pour tout entier supérieur à 0 (ou 1), puis tu vérifies si c'est vrai pour , autrement dit il faut montrer que :

C'est parti:

or par hypothèse on a que , donc:



or:
puisque n et t sont positifs, d'où:

qui est ce qu'il fallait démontrer.

[mimo13]

Bonjour! comment montrer que ?
pour tout t >0 et pour tout n entier

Pour ajouter, ton inégalité reste vrai pour , elle s'appelle l'inégalité de Bernoulli.

Ils existent des démo très variés de cette inégalité, parmi eux la récurrence, la démo que je propose est la suivante:

Posons
La fonction est dérivable sur et
En étudiant les variations de la fonction il est facile de montrer qu'elle est toujours positive sur .

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

sinon, on écrit si t positif (évident)

et de découle clairement le cas 0<t<1

[invite971f543b]

ok. parfait. Un grand merci à tous !!!!!