Bonjour! comment montrer que (1+t)n >> 1+nt ?
pour tout t >>0 et pour tout n entier
( >> : supérieur ou égal)
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31/08/2009, 16h22
#2
invitea3eb043e
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Re : inéquation
La formule du binôme doit te donner cela à l'aise. Sinon une récurrence peut-être.
31/08/2009, 16h25
#3
fiatlux
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Re : inéquation
salut
Par exemple par récurrence:
Tu vérifies si c'est vrai pour le premier terme (n=0 ou n=1, peu importe): --> vrai pour n=0 OU ALORS --> vrai pour n=1
Tu poses l'hypothèse que c'est vrai pour tout entier supérieur à 0 (ou 1), puis tu vérifies si c'est vrai pour , autrement dit il faut montrer que :
C'est parti:
or par hypothèse on a que , donc:
or: puisque n et t sont positifs, d'où:
qui est ce qu'il fallait démontrer.
La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.
31/08/2009, 21h40
#4
invitebe08d051
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Re : inéquation
Envoyé par beatles22
Bonjour! comment montrer que ?
pour tout t >0 et pour tout n entier
Pour ajouter, ton inégalité reste vrai pour , elle s'appelle l'inégalité de Bernoulli.
Ils existent des démo très variés de cette inégalité, parmi eux la récurrence, la démo que je propose est la suivante:
Posons
La fonction est dérivable sur et
En étudiant les variations de la fonction il est facile de montrer qu'elle est toujours positive sur .