DM urgent !

[invite9d6f8c1d]

Bonjour, j'ai un DM de mathématiques pour demain que je n'arrive pas à faire aboutir. Voici l'énoncé :

On se place dans un repère orthonormé (vecteur O ; vecteur i ; vecteur J ) direct.

1/ Soient A (r1; alpha1) et B(r2, alpha2) deux points dont on donne un couple de coordonnées polaires.
Soit I le milieu de [AB]. Pensez-vous que ((r1+r2)/2 ; (alpha1+alpha2)/2) est un couple de coordonnées polaires de I ? Justifier.

2/ M a pour coordonnées cartésiennes (racine de 3 ; 1) , R est la rotaion de centre O est d'angle π/3.
On note N l'image de M par la rotation r et E le point tel que NEMO est un parallélogramme.
a) Quelle conjecture peut-on faire à propos des coordonnées de N et E ?
b) Calculer (en justifiant) les coordonnées cartésiennes de E.

J'ai quelques idées pour le 1 mais je ne sais pas comment les faire aboutir :
J'ai "calculer" les coordonnées cartésiennes de A et B :
A (r1*cosalpha1; r1*sinalpha1) et B (r2*cosalpha2;r2*sinalpha2)
donc AB (r2*cosalpha2 - r1*cosalpha1; r2*sinalpha2-r1*sinalpha1)
et si I est le milieu de AB alors 2AI=AB donc AI=AB/2
Donc je trouve les coordonnées de AI ((r2*cosalpha2-r1*cosalpha1)/2; (r2*sinalpha2-r1*sinalpha1)/2)
Mais je ne sais pas comment trouver les coordonnées polaires de I à partir des cartésiennes de AI. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?

Pour le 2 j'ai fait une figure, on observe que c'est un losange mais je ne sais pas comment le formuler dans la réponse car la question est un peu tordue. Je n'arrive pas à calculer les coordonnées cartésiennes de E sans l'aide de la figure, qui je pense n'est pas une justification.
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[Jeanpaul]

Pour la question 1, il suffit de fournir un contre-exemple. Par exemple r1=r2=1 et alpha1=0 et alpha2=pi.
Ensuite, on ne sait pas facilement ajouter des vecteurs en polaires, il faut repasser en cartésiennes.

[invite9d6f8c1d]

Merci

Et tu n'as pas une piste pour le 2/ b/ car je ne sais pas par ou commencer, ni comment chercher

[Jeanpaul]

Cet exo te fait jongler entre coordonnées polaires et cartésiennes, c'est à toi de t'ajuster.
Déjà, pour faire tourner OM, on sent qu'il vaut mieux être en polaires, alors on y va : quelles sont les coordonnées polaires de M (module, argument) ? et ensuite les coordonnées polaires de N ?
Maintenant, il va falloir calculer le vecteur OE = OM + ON, ce qui se fait mieux en cartésiennes.
Alors, on convertit : quelles sont les coordonnées cartésiennes de M et de N ? Et les coordonnées cartésiennes de E ?
C'est la façon pédestre de faire mais un petit dessin t'aiderait bien, je pense et te montrerait tout de suite à quoi tout ça ressemble.

[A voir en vidéo sur Futura]