z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

invite02880ceb · 13/02/2011, 13h43

coucou tout le monde!!

un DM de maths de terminale S, j'ai réfléchie ce matin, et je n'arrive pas a me débloquer au moins pour la premiere question... voila l'énoncé si quelqu'un pouvait m'aider...

Le plan complexe est rapporté à un repere orthonormal (o,u,v); unité graphique 4 centimetre
on considere la transformation f du plan qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que:

z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

1) montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle

bon, je sais que ta transformation par rotation s'exprimerai

z'=e^(iƟ)(z-ω) avec ω affixe du centre et Ɵ l'angle de rotation...

je me demandais comment faire entrer exp dans l'équation...

pouriez vous m'aider???

**RoBeRTo-BeNDeR** · 13/02/2011, 14h02

Bonjour,
il me semble que l'équation d'une rotation est plutôt du genre :

z'-ω=e^(iƟ)(z-ω)

Cherche à résoudre z'=z cela te donnera l'affixe du centre de rotation et ensuite
ben il te reste à le mettre sous la forme précédente. Et tu n'as pas à faire entrer un exp dans l'équation. Il faut le mettre sous la forme précédente et alors là tu auras un coefficient devant (z-ω) (de module 1) et là tu le met sous forme exponentielle

RoBeRTo

invite02880ceb · 13/02/2011, 14h15

le soucie c'est que si on suis ton raisonnement, on arriverai à (2^(1/2)/2)(-1+i)=1, ce qui est impossible...

inviteffc3655f · 13/02/2011, 14h35

Ici un simple développement suffit. On obtient z'=(cos(3pi/4)+isin(3pi/4) soit z'=e^(i(3pi/4))z. Là tu as la forme que tu cherches.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**RoBeRTo-BeNDeR** · 13/02/2011, 14h39

Non je pense que tu as fait une petite erreur.

Cherchons à trouver le centre de la rotation :

z=z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

donc z(1-((2^(1/2)/2)(-1+i))=0 donc ...? z=0 et si tu simplifie par z c'est sûr que tu ne trouves pas le résultat

Donc la transformation admet un point invariant le point 0

il suffit donc de mettre

z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z sous la forme

z'-ω=e^(iƟ)(z-ω) avec ω=0 donc chercher à transformer ((2^(1/2)/2)(-1+i) sous forme exp et tu obtiens le résultat donné par RForEver

**pallas** · 13/02/2011, 14h48

des que z'=az le point invariant est le point d'afaixe zero
ensuite il te suffit de mettre a sous la forme e^ih pour avor l"angle

**pallas** · 13/02/2011, 14h49

faute orthographe affixe zero et avoir la mesure de l'angle

invite02880ceb · 13/02/2011, 14h50

merci beaucoup!!
RoBeRTo, je te promet, j'ai revérifié, et tu confond avec l'homotétie... et j'ai pas trop tout bien compris ton raisonnement, je trouve la solution de RForEver plus simple... mais merci au deux de m'avoir aidé, et d'avoir prit du temps pour moi!!!

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 15h16

Bonjour,

Envoyé par RForEver

Ici un simple développement suffit.

Je n'appèlerais pas ça un développement, mais plutôt une mise sous forme trigonométrique.

Envoyé par RForEver

On obtient z'=(cos(3pi/4)+isin(3pi/4)

Attention: z' = [cos(3 $\text{[math]}$ /4)+isin(3 $\text{[math]}$ /4)]z

C'est sqrt(2)(-1+i)/2 qui est égal à cos(3 $\text{[math]}$ /4)+isin(3 $\text{[math]}$ /4).

@rubis6432: RoBeRTo-BeNDeR t'a bien donné la forme générale de l'équation de rotation dans le plan complexe. Tu devrais vérifier à nouveau l'écriture d'une homotétie.

Bonne continuation.

invite02880ceb · 13/02/2011, 15h35

Re! ne pensez pas que je ne fait rien, mais je suis encors bloqué, pour la seconde question... ils me disent:

2) on définit la suite de points (Mn) de la facon suivante: M0est le point d'affixe z0=1 et, pour tout nombre entier naturel n, M(n+1)=j(Mn). on note zn l'affixe du point Mn
a- justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn=e^(i((3npi)/4))

avec les suite j'utilse souvent la récurence, mais la, ça m'amene à z(n+1)=f(e^(i((3npi)/4)) et ça me paret bisar... ça ne l'est peu etre pas, mais si ce n'est pas le résultat esconté, je me demande comment arriver à la solution, car pour les suite, a part la récurence je ne vois pas quoi utilisé...

aidez moi s'il vous plait...

invite02880ceb · 13/02/2011, 15h53

j'avais pas vu j'ai fait une erreur, c'est pas M(n+1)=j(Mn), mais M(n+1)=f(Mn)...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 16h06

Envoyé par rubis6432

ça m'amene à z(n+1)=f(e^(i((3npi)/4)) et ça me paret bisar

Ca ne l'est pas, il faut juste finir ton calcul.

invite02880ceb · 13/02/2011, 16h10

mais comment?
car avec ça, j'ai tenté de continuer, et je me demandais si je pouvais continuer avec z(n+1)=((3pi/4)+e^(i(3npi)/4))

mais sinon, le raisonnement par récurrence est une bonne méthode pour arriver au résultat???

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 16h13

Envoyé par rubis6432

mais comment?

Bah en calculant f(z_n). Si tu n'y arrives pas, détaille ton calcul que nous puissions le corriger. Nous n'allons pas le faire pour toi

Envoyé par rubis6432

mais sinon, le raisonnement par récurrence est une bonne méthode pour arriver au résultat???

Oui. N'oublie pas que tu as deux choses à vérifier: l'initialisation de ta récurrence, et l'hérédité.

invite02880ceb · 13/02/2011, 16h19

mais est ce que si je fait f(zn)=3pi/4+e^(i3npi/4) c'est juste??
l'initialisation c'est bon, elle est vérifié... mais c'est l'hérédité où j'ai toujours eu un peu de mal...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 16h25

Envoyé par rubis6432

mais est ce que si je fait f(zn)=3pi/4+e^(i3npi/4) c'est juste??

Bah je ne sais pas... Tu as montré à la question précédente que:

$\text{[math]}$

Comment calcules-tu f(z_n)? (détaille tes calculs)

invite02880ceb · 13/02/2011, 16h28

dans mon exercice, ils disent que f est une transformation, une rotation, et on a déterminé que le centre était 0 et l'angle 3pi/4, alors sachant que z0=1, je m'était dit que pour tout n, on ajoutait 3pi/4 pour trouver le terme suivant, comme dans le cercle trigo...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 16h45

On ajoute 3 $\text{[math]}$ /4 à l'angle, pas à l'affixe. En complexes ça se traduit pas une multiplication par exp(3i $\text{[math]}$ /4).

Réponds à ma question du message #16, ou au moins commence, ce n'est pas bien compliqué.

invite02880ceb · 13/02/2011, 16h54

ben j'avais fait:
z(n+1)=f(zn)
z(n+1)=f(e^(i3npi/4))
z(n+1)=3pi/4+e^(i3npi/4)
et la je suis bloquée...
mais si tu dis que ca se traduit par une multiplication par e^(i3npi/4); je vais essayer...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 16h58

Envoyé par rubis6432

z(n+1)=f(zn)
z(n+1)=f(e^(i3npi/4))
z(n+1)=3pi/4+e^(i3npi/4)

D'où sort ta dernière ligne? Tu as montré que:
$\text{[math]}$

Pour trouver f(z_n), il suffit juste de remplacer z par z_n dans l'expression ci dessus, et ça donne bien une multiplication, pas une addition.

invite02880ceb · 13/02/2011, 17h01

désolé du retard, je t'avais envoyé une réponse mais il ne te l'a pas envoyé...
alors j'ai fait:
z(n+1)=f(e^(13npi/4)
z(n+1)=3pi/4+e^(ipi3n/4)
et la je suis bloqué mais si tu dis qu'il faut que je multiplie je vais essayer...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 17h02

A nouveau, regarde mon message #20.

invite02880ceb · 13/02/2011, 17h06

en faite c'est juste mon ordi qui bug...désolé...
donc toi tu dis que ce que j'ai trouvé précédement montre que f(z)=e^(3ipi/4)z
mais si je remplace ça fait
f(zn)=exp(3ipi/4)*exp(3ipin/4)...
mais je vois pas ou on va...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 17h09

A nouveau il suffit de continuer le calcul. Que vaut exp(a)*exp(b)? (résultat de cours)

invite02880ceb · 13/02/2011, 17h13

ha!! ça y est je crois que j'ai compris!!! donc au final on a:
f(zn)=z(n+1)=exp(i(3pi(n+1))/4)
c'est ca?????

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 17h19

C'est ça. Ca démontre que l'hypothèse que tu as faite au rang n est vraie au rang (n+1), elle est donc vraie pour tout n.

Bon courage pour la suite.

invite02880ceb · 13/02/2011, 17h21

merci beaucoup!!!!!! c'est trop gentil!!!
j'espere que je pourais me débrouiller pour la suite^^
mais merci encor de m'avoir inscité à la réflexion!! tu m'as vraiment beaucoup et bien aidé!

invite02880ceb · 13/02/2011, 17h53

dis juste... désolé, mais... pour z1=exp(i3π/4) on peu l'éxprimer comment aussi?? pour pouvoir calculer la distance M0 M1...

**Plume d'Oeuf** · 13/02/2011, 18h24

Là je vais te laisser chercher parce que tu l'as déjà fait pour la question 1.

invite02880ceb · 13/02/2011, 18h26

oui j'ai retrouvé -rac2/2 + irac2/2... mais la distance, c'est avec (z1-z2)?? je retrouve plus la formule pour calculer les distance...

z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z

Re : z'=((2^(1/2)/2)(-1+i)z