Petit problème de conjecture (4eme)

[invitef042f300]

Voilà je vous propose un petit problème de conjecture donné à un élève de 4eme dont je n'arrive pas à résoudre quelques points.

Etape 1 : voici un programme de calcul
1) choisis deux nombres plus petits que 10
2) Écris ces deux nombres l'un en dessous de l'autre.
3) Écris en dessous la somme des deux précédents.
4) Recommence l'étape 3 jusqu'à obtenir 10 nombres en tout.
5) Calcule la somme de ces 10 nombres.
6) Multiplie par 11 le 7eme nombre.

question 1 : Applique le à deux nombres de ton choix. Que remarques-tu?
Question 2: Applique le à deux autres nombres de ton choix. Que remarques-tu?
question 3: Rédige une conjecture sur le résultat.

Etape 2: on peut utiliser un tableur
question 4: vérifie cette conjecture pour beaucoup de paires de nombres de départ.
question 5: Ecris toutes les paires qu'il faut vérifier pour pouvoir dire que c'est toujours vrai.

Etape 3 :
question 6: démontre la conjecture établie à la question 3).


Alors j'ai réussi les première question sans problème, jusqu'à arriver à la conjecture, j'ai pas pu trouver mieux que : on peut proposer, que quelque soit le nombre inférieur à 9 la somme des 10 chiffres est toujours égale au produit du 7eme chiffre par 11. ça me parait bancale, si vous avez d'autre idée je suis preneur !

réponse 5 : alors moi au début j'étais prêt à mettre toute les possibilité, on m'a proposé de mettre un exemple avec 2 chiffres pair, un chiffre pair/un chiffre impair, et un avec deux chiffre impair. Est-ce que ça suffirait vraiment??

réponse 6: alors la je bloque totalement sur comment démontrer ma conjecture étant donné qu'en 4eme on doit démontrer si possible par je sais que, propriété, conclusion.

Merci d'avance pour vos idée, réponse et toutes remarque pouvant avancer ma pensé
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[blablatitude]

d'une part ta conjecture est la bonne (cf excel)

ensuite pour la Q5 : euh je sais pas trop, le truc du pair impair me semble correct

Pour la Q6 il faut que tu montres que le 7° terme fois 11 est égal au 10° terme, en gros soit a1 et a2 les deux premiers termes, a3=a1+a2, a4=2a2+a1, a5=2a2+3a1, a6= etc ...

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

En fait cela marche pour tout couple de valeurs initiales.
Les valeurs initiales peuvent être négatives, positives, supérieures à 10 sans problème...

La méthode que propose blablatitude est tout à fait correcte.
Pour éviter les notations indicielles (en 4ème), j'aurais plutôt proposé a et b au départ et exprimé les différents nombres proposés en fonction de a et b.
Il ne restera plus qu'à comparer les expressions de 11x"septième expression" et la somme de toutes les expressions.

Dis-nous ce que tu trouves pour chacune d'elles.

Duke.

[epiKx]

Bonjour,
je suis pas d'accord avec blablatitude:
-pour la Q5, je pense que tu es obligé de mettre toutes les paires possibles parce que t'en que tu donnes pas la preuve qu'il n'y a en fait que trois possibilités, tu n'as pas le droit de l'affirmer.
Ensuite, pour la Q6, il faut montrer que le 7ème terme initial multiplié par 11 est égal à la somme des dix nombres (qui n'est pas égale au 10ème terme initial car à a3 on ajoute a1+a2, en reprenant les notations de blablatitude).
epiKx

[A voir en vidéo sur Futura]

[blablatitude]

Ah oui effectivement dans mon explication je me suis un peu fourvoyé, c'est pas le 10 eme terme mais la somme des 10 ...

Puis pour faire la verification, effectivement, il faut soit tous les faire (la plaie ...) ou alors démontrer quelques chose d'auxiliaire qui te facilitera le boulot. A vue de nez j'ai pas vraiment d'idée, promis j'y réfléchirai