Exercice 1ère S

[Pandi-panda]

Bonjour, nous avons un devoir de maths à rendre et un des exercices nous pose problème. Voici l'énoncé :
ON considère un triangle ABC rectangle en A avec AB = 1 et on considère le point H qui est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
On désigne par x la distance AC et par f(x) l'aire du triangle ABH en fonction de x.

1) Déterminer l'expression de f(x)
2) Déterminer f(0) et limite (x tend vers l'infini) de f(x)
3) Etablir le tableau de variation de f sur [0; plus infini[
4) En déduire la valeur du réel x pour laquelle l'aire de ABH est maximale.
5) Quelle est, dans ce cas, la nature du triangle ABC?

L'aire du triangle ABH correspond à (BHxAH)/2. Or comment l'exprimer en fonction de AC ?
Merci de votre aide !
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[Jeanpaul]

Que peut-on dire des triangles ABC et ABH ?

[Pandi-panda]

ABH et ABC sont rectangles, non ?

[invitefa064e43]

c'est vrai, mais tu peux dire autre chose aussi.

indice : on aurait déjà pu te poser cette question au collège (et tu aurais dû être capable d'y répondre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pandi-panda]

c'est vrai, mais tu peux dire autre chose aussi.

indice : on aurait déjà pu te poser cette question au collège (et tu aurais dû être capable d'y répondre)

En se servant de pythagore, on obtient AH² = AC² + HC², mais vu qu'on ne connait pas HC ...

[Jeanpaul]

Les triangles semblables, tu connais ? Ou alors les formules de trigo, ça revient au même.

[Pandi-panda]

J'ai trouvé que la longueur BC = racine carrée (x²+1). Du coup en calculant le cos de l'angle B on arrive à trouver la longueur AH qui vaut environ 0.49 et la longueur BH valant environ 0.87. Mais cela ne me donne pas l'aire du triangle ABH en fonction de x. Je pars sans cesse sur de fausses pistes, j'aimerais que quelqu'un m'indique "par où je dois aller" ...

[Jeanpaul]

AH et BH dépendent forcément de x. Comment peux-tu donner une valeur constante ?
Regarde le triangle ABH. Avec le sinus et le cosinus de l'angle B, tu peux calculer AH et BH.

[Pandi-panda]

On a cos B = BH/AB et comme AB=1, cos B=BH
De même sin B = AH. Mais je ne vois pas comment lier cela à x, la valeur de AC.

[blablatitude]

Salut

pour info je crois que les triangles semblables on les voit plus au collège (enfin je les ai vu fin 1° personnellement)

[Pandi-panda]

Ca ne m'étonnerait pas qu'on n'ait pas vu les propriétés qui sont nécessaires pour faire cet exercice. Le professeur aime justement nous donner des exercices qu'on ne sait pas forcément résoudre. Mais cet exercice en particulier me pose problème, j'ai cherché pendant longtemps mais je n'arrive pas à trouver f(x). En plus, sans cela je ne peux pas résoudre la suite.

[Pandi-panda]

J'ai recherché les triangles semblables. Si AHC et AHB sont deux triangles semblables (je ne sais pas comment démontrer cela) alors on a
AH/AH = AB/AC = HB/HC = k (k comme coefficient directeur).
Encore une propriété, et je ne sais pas comment la relier à la question, ni même si elle convient à la situation.

[Pandi-panda]

Et nous avons également, si ils sont semblables :
Aire ACH/aire ABH = k².
Donc est-ce que le x correspond au k de la formule ?
Et dans ce cas, comment démontrer que ces deux triangles sont semblables ?

[Jeanpaul]

On a cos B = BH/AB et comme AB=1, cos B=BH
De même sin B = AH. Mais je ne vois pas comment lier cela à x, la valeur de AC.

Ca, c'est intéressant, surtout si tu ne connais pas les triangles semblables (qui ont leurs 3 angles égaux).
Tu sais calculer BC (tu l'as fait) donc sin(B) = AC/BC et cos(B) = AB/BC
Et c'est bouclé.

[Pandi-panda]

Dans ce cas, l'aire du triangle ABH est égal à
1/2 x [1/racine carrée (1+x²)] x [x/racine carrée (1+x²)]
Ce qui en simplifiant donnerait x/(2x²+2).
Est-ce bien la réponse ? Je ne voudrait pas me tromper en simplifiant la fraction après avoir galéré pour trouver la réponse !
Merci de votre aide, Jeanpaul !

[Jeanpaul]

Oui, c'est juste mais il n'est pas élégant d'effectuer le 2 (1+x²)

[Pandi-panda]

Comment peut-on calculer la limite de f(x) en gardant le 2(1+x²) ? Avec mon
f(x)= x/2x²+x j'ai fait lim f(x) = lim (x/2x²) = lim (1/2x) = + infini. Mais je ne suis pas sûre de ma réponse, puisque pour mon tableau de variation de la question 3, je ne suis pas sûre que la limite soit cohérente.

[epiKx]

Bonjour,
La limite est fausse en effet car la limite en + de n'est pas l'infini! Si on divise 1 par un nombre de plus en plus grand, vers quoi va tendre le résultat?
3- On dérive f.
4- Se déduit directement de 3-
5- Remplacer x par la valeur trouvée au 4-, dans le triangle ABC.
En espérant t'avoir aidé,
epiKx.

[Pandi-panda]

Donc la limite en + infini de 1/2x est 0. La dérivée de f(x) est
f'(x) = -2x²+2/(2x²+2)²
D'après le tableau, f admet un maximum de 1/4 atteint en 1, donc l'aire de ABH est maximale pour x = 1 ?

[epiKx]

Bravo
Il ne reste plus qu'à conclure sur la nature du triangle ABC lorsque x=1...

[Pandi-panda]

Ahah ben c'est d'un compliqué !
ABC est donc isocèle rectangle lorsque x=1.
Merci beaucoup de votre aide, je n'aurais jamais réussi sans vos conseils !