Exercice de 1ere S

[invite3c5252e3]

Bonjour. J'ai un exercice a faire mais je n'arrive pas a repondre a la derniere question. Pouvez vous m'aider ?

Voici l'énoncé :
Soit le cercle (C) de centre J(3,1) et tangent à la droite (T) d'équation x+2y-10=0.
a) calculer les coordonnées du point de contact A entre (C) et la tangeante (T).

ça me paraissait assez facile : j'ai essayé de résoudre l'égalité entre une équation de cercle avec les coordonnées Xa et Ya du point A (Xa² + Ya² + aXa + bYa + c ) et avec l'équation de la tangente ( Xa +2Ya -10 ). Mais je n'arrive pas a le résoudre. ...j'ai du faire une erreur quelquepart, mais pouvez vous me dire ou exactement ?

merci
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[invite35452583]

Un conseil : changes de méthode.
Que peux-tu dire du rayon d'un cercle et d'une tangente à ce cercle ? Autrement dit le point le contact est le ... ... du centre sur la tangente.

[invite3c5252e3]

Un conseil : changes de méthode.
Que peux-tu dire du rayon d'un cercle et d'une tangente à ce cercle ? Autrement dit le point le contact est le ... ... du centre sur la tangente.

donc en gros je dois utiliser le fait que AJ soit un rayon ? et aussi que les coordonnées de A réponde à l'équation de la tangente ?

[Jeanpaul]

Soit le cercle (C) de centre J(3,1) et tangent à la droite (T) d'équation x+2y-10=0.
a) calculer les coordonnées du point de contact A entre (C) et la tangeante (T).

ça me paraissait assez facile : j'ai essayé de résoudre l'égalité entre une équation de cercle avec les coordonnées Xa et Ya du point A (Xa² + Ya² + aXa + bYa + c ) et avec l'équation de la tangente ( Xa +2Ya -10 ). Mais je n'arrive pas a le résoudre. ...j'ai du faire une erreur quelquepart, mais pouvez vous me dire ou exactement ?

merci

Homotopie te suggère une méthode mais tu peux aussi poursuivre la tienne, en la mettant au propre.
Commence par écrire l'équation du cercle de centre J et de rayon R (que tu ne connais pas encore). Ca donne une relation entre x et y.
Ensuite l'équation de la droite, ça donne une autre relation entre x et y.
Tu prends y dans l'équation de la droite et tu portes dans l'équation du cercle, ça donne une équation du second degré en x qui donne l'abscisse des points d'intersection.
Comme la droite est tangente, c'est que cette équation du second degré en x a une racine double, donc on en déduit que ... et ça permet de calculer R.
Ensuite la racine double est l'abscisse du point de contact.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c5252e3]

j'arrive toujours pas à le résoudre le systeme !


j'arrive à une équation égale R², mais comme je ne connais pas R, je ne pas résoudre ???

[Jeanpaul]

Si tu nous écrivais cette équation ?
C'est une équation en x (ou en y ça ne change pas grand'chose). Elle est du second degré.
Comment sait-on qu'une équation du second degré a une racine double ?

[invite3c5252e3]

j'ai justement préféré remplacé x car en remplacant y je me retrouverais avec des fractions et je n'aime pas ça donc
donc j'obtiens : 5y² - 30y + 50 = r²
et je ne vois pas comment allez plus loin, car meme en factorisant l'expression j'aurais toujours r, et etant donné que je ne le connais pas je ne comprends pas .. :s:s

[invite3c5252e3]

oulaaa
je viens de refaire le calcul et j'obtiens :
5y² + 10y + 50 = r²

[invite35452583]

Bon puisque l'on continue dans cette voie.
Il existe un unique point de coordonnées (x₀,y₀) vérifiant cette équation donc l'équation en y admet une solution unique.
Or, tu as du voir cette année (c'est rarement placé en fin d'année) une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation du second degré admette une solution unique. Ceci donne une équation qui permet de trouver r.
Les calculs de y et de x en découlent assez facilement après.

[Jeanpaul]

oulaaa
je viens de refaire le calcul et j'obtiens :
5y² + 10y + 50 = r²

Dommage parce que c'était juste comme tu l'avais écrit avant !

[invite3c5252e3]

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire... je ne me souviens pas de conditions concernant cela

mais sinon, je sais ce que je dois trouver ( j'ai regardé graphiquement pour pouvoir finir l'exercice) mais par calcul.. que se soit par x ou par y je n'arrive pas à l'obtenir...

[Jeanpaul]

Alors on va détailler. L'équation en y c'est :
5y2 - 30y + (50 - r²) = 0
Elle est de la forme
a y² + b y + c = 0
On sait dans le cours que cette équation peut avoir 2, 1 ou zéro solutions selon la valeur du discriminant qui vaut b² - 4 a c.
Ici a = 5, b = -30 et c = (50 - r²)
On calcule donc le discriminant (je te laisse faire) et on dit que s'il n'y a qu'une solution c'est que le cercle est tangent. Calcule r² à partir de là, c'est super-simple.
Ensuite tu remontes à l'équation en y et tu dis que la racine double c'est
-b/2a
Tu calcules x à partir de là.

[invite3c5252e3]

je viens de calculer le discrimant je trouve : -100 + 20r².
donc ensuite il faut que je dise, pour ne trouver qu'une solution étant donné que c'est une tangente au cercle ( il n'y a donc qu'un point de contact) que cela doit etre à 0. on trouve donc r²=5 soit r= (racine de) 5.
donc ensuite je remplace r² par 5 dans l'expression de départ (5y² - 30y +(50 -r²) et je trouve bien y=3 et donc x=4.

j'ai vérifié, les resultats sont bons. ce qui me semble juste bizarre c'est que dans l'exercice que l'on me donne on me demande d'abord de trouver les coordonnées de A puis en déduire que r=(racine de)5 . est ce normal que je fasse l'inverse ? que je me serve de r avant de trouver les coordonnées de A ??


sinon je vous remercie de m'avoir aider !!!!

[Jeanpaul]

Tu auras remarqué qu'on peut calculer y puis x sans avoir calculé le rayon r parce que y = -b/2a qui ne fait pas intervenir r.

[invite3c5252e3]

en effet, je m'en suis rendu compte aprés avoir fait le calcul.

Merci beaucoup en tout cas