Démonstration

[invite01ec89f8]

Bonjour,
Il se trouve que j'ai un DM de Maths à faire pour lundi et je bloque sur quelque chose qui me tracasse :
Comment démontrer sur [0;1] que :
0 <ou égale à x^4/1+x² <ou égale à x^3/2

Je vous remercie d'avance.
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[shokin]

Pour 0 <ou égale à x^4/1+x² , demande-toi si, quand x est un nombre réel, quel peut être le signe de x², puis le signe de x²ⁿ (où n est un nombre entier).

Pour x^4/1+x² <ou égale à x^3/2, analyse (le signe de) x⁴/(1+x²) <= x³/2. Tu as le droit de chercher un dénominateur commun (un PPMC) aux deux fractions et d'utiliser des identités remarquables.



Shokin

[invite01ec89f8]

Je suis d'accord avec toi pour la première partie de l'exercice pour montrer que 0 <= x^4/1+x² mais pour la deuxième partie pour montrer que x^4/1+x² <= x^3/2 peux-tu affiner ta réponse ?

[invite01ec89f8]

Une technique de comparaison des deux courbes, en étudiant le signe de x^3/2 - x^4/1+x² n'est elle pas possible

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Pour prouver que x^4/1+x² <ou égale à x^3/2, tu dois prouver que :

x^4/1+x² - x^3/2 est plus petit ou égal à 0, donc en étudier le signe.

Tu as une soustraction de deux fractions. Amplifie-les toutes deux de telle manière à avoir un dénominateur commun, donc une seule fraction. Tu t'apercevras vite que ce dénominateur est strictement positif si x est un nombre réel.

Il s'agira ensuite de factoriser le numérateur. Une petite mise en évidence de -x³ puis une identité remarquable pour factoriser le trinôme du second degré qui reste dans la parenthèse feront l'affaire.



Shokin