[URGENT] Suite 1erS

[Raphale]

Bonjour à vous j'attends votre aides avec impatience


Sujet :

Soit Un ---------------{U0=6
Soit (Vn)n appartient IN{Un+1= 4Un-1/Un+2

I/a.Montrer que pour n appartient IN, Un est supérieur à 1.
b/En déduire que les suites (Un)et (Vn) sont définies.
2/a: Déterminer la f° tq f(Un)=Un+1
b:Puis je dois ensuite faire une représentation de la fonction f et la droite D:y=x dans un repère d'unité 2cm sur [0;7]
c)Je dois ensuite représenter les 1er termes de la suite (Un) sur le graph précédent jusqu'à U5
d) Conjecturer la limite et les variations de cette suite.
II/ Etudier le sens de variation de (Un)
III/a:Montrer que (Vn) est une suite arithmétique , preciser son 1er terme et sa raison .
b:Exprimer Vn puis Un en f° de n
c:Etudier la convergence de la suite Un.

Où j'en suis :

I/a: On utilise bien la reccurence ?

Initialiser:Uo=6 supérieur à 1
on suppose Un supérieur à 1

(Uk+1)-1=(4Uk-1/Uk+2)-1=4Uk-1-1*(Uk+2)/Uk+2= 3Uk-3/Uk+2 #0 Car Uk supérieur à 1

Vn+1=1/(Un+1)-1=1/(4Un-1/Un+2)=1/3Un-3/Un+2
=Un+2/3Un-3

Vn+1-Vn= (Un+2/3Un-3)-(1/Un-1)=Un+1/2Un-4= 1

Merci de m'aidez j'ai du faire une erreur

2/a: f(x) 4x-1/x+2

b:Je vois une fonction homographique , qui tend vers 3
-----

[NicoEnac]

Bonjour,

Vn+1=1/(Un+1)-1=1/(4Un-1/Un+2)=

Il manque le "-1". Tu as remplacé U_n+1 par son expression en fonction de U_n mais tu as oublié de reporter le "-1" qui suit :
.

Je te laisse finir.

[Raphale]

.

=(-Un-2)/(-4Un+1)

Je crois que je suis mal partie

[Raphale]

Merci j'attends vos aides

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Soit Un ---------------{U0=6
Soit (Vn)n appartient IN{Un+1= 4Un-1/Un+2

I/a.Montrer que pour n appartient IN, Un est supérieur à 1.

I/a: On utilise bien la reccurence ?

Initialiser:Uo=6 supérieur à 1
on suppose Un supérieur à 1

(Uk+1)-1=(4Uk-1/Uk+2)-1=4Uk-1-1*(Uk+2)/Uk+2= 3Uk-3/Uk+2 #0 Car Uk supérieur à 1

Vn+1=1/(Un+1)-1=1/(4Un-1/Un+2)=1/3Un-3/Un+2
=Un+2/3Un-3

Vn+1-Vn= (Un+2/3Un-3)-(1/Un-1)=Un+1/2Un-4= 1

Par récurrence en effet mais la tienne est des plus étranges...

I : u₀ = 6 > 1
C : u_n > 1
T : Mq u_n+1 > 1.

or u_n > 1 donc u_n+1 > 4 - 9/3 = 1
C : u_n+1 > 1 pour tout n naturel.

b/En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont définies.

A quelles conditions ces suites sont-elles définies ?
Il est bien écrit "en déduire"

2/a: Déterminer la f° tq f(Un)=Un+1

b:Puis je dois ensuite faire une représentation de la fonction f et la droite D:y=x dans un repère d'unité 2cm sur [0;7]
c)Je dois ensuite représenter les 1er termes de la suite (Un) sur le graph précédent jusqu'à U5
...
2/a: f(x) 4x-1/x+2[QUOTE]OK pour la fonction proposée mais qui n'est pas des plus simple à représenter sur un graphique.

b:Je vois une fonction homographique , qui tend vers 3

Euh... elle tend plutôt vers 4, non ?...
Et quel est le rapport avec (u_n) ?

d) Conjecturer la limite et les variations de cette suite.

II/ Etudier le sens de variation de (Un)

Je vais finir par me demander si tu as bien compris ce que j'ai proposé sur le post précédent...

III/a:Montrer que (Vn) est une suite arithmétique , preciser son 1er terme et sa raison .
b:Exprimer Vn puis Un en f° de n
c:Etudier la convergence de la suite Un.

Le b.a.-ba...
Que proposes-tu ?

Duke.

[Raphale]

Bonjour.


Par récurrence en effet mais la tienne est des plus étranges...

I : u₀ = 6 > 1
C : u_n > 1
T : Mq u_n+1 > 1.

or u_n > 1 donc u_n+1 > 4 - 9/3 = 1
C : u_n+1 > 1 pour tout n naturel.
.

T:signifie théorie ? Et pourquoi 9?

A quelles conditions ces suites sont-elles définies ?
Il est bien écrit "en déduire"
.

b:Puis je dois ensuite faire une représentation de la fonction f et la droite D:y=x dans un repère d'unité 2cm sur [0;7]
c)Je dois ensuite représenter les 1er termes de la suite (Un) sur le graph précédent jusqu'à U5
...
[QUOTE=Duke Alchemist;3523232]
2/a: f(x) 4x-1/x+2

OK pour la fonction proposée mais qui n'est pas des plus simple à représenter sur un graphique.
Euh... elle tend plutôt vers 4, non ?...
Et quel est le rapport avec (u_n) ?
.

Elle tends vers 4 , car moi sur ma calculatrice je vois qu'elle tend vers 3 de 0 à 7 cm , car je suis l'intervalle demandé

Le b.a.-ba...
Que proposes-tu ?
Duke.

Pour la représentation des termes sur ce type graphique ca sera une première , donc je ne vois pas trop merci de ton aide

[Duke Alchemist]

Re-

T:signifie théorie ? Et pourquoi 9?

Non T ne signifie pas "théorie".
A mon époque, on notait les étapes de la récurrence sous la forme Initialisation/Conjecture/Transmission/Conclusion d'où le I. C. T. C.
Désolé pour l'embrouille occasionnée

Le "9" qui est apparu est une astuce en fait.
On est d'accord sur le fait que 4u_n c'est bien 4*u_n donc je m'arrange pour faire apparaître 4*le terme constant du dénominateur soit 4*2=8 et comme j'ai -1 pour aller jusque 8 il me faut bien ajouter 9 et aussitôt le retrancher afin de ne pas modifier l'expression initiale...

Je pense qu'il y a moyen de faire sans cette étape mais tant qu'on peut faire... simple

U_n+1 est définie pour U_n différent de .?. donc la condition est vérifiée, non ?

Et pour V_n, quelle est-elle ?

2/a: f(x) 4x-1/x+2

Elle tends vers 4 , car moi sur ma calculatrice je vois qu'elle tend vers 3 de 0 à 7 cm , car je suis l'intervalle demandé

Certes mais la limite de (4x-1)/(x+2) est bien 4 à l'infini...
Mais comme je l'ai dit plus haut, cela ne nous intéresse pas pour la suite (U_n)_n

Pour la représentation des termes sur ce type graphique ca sera une première , donc je ne vois pas trop merci de ton aide

Euh pour montrer que (V_n)_n est une suite croissante, tu n'as absolument pas besoin du graphique...
Quelle est la définition d'une suite algébrique ?

Duke.

[Raphale]

U_n+1 est définie pour U_n
différent de 1. donc la condition est vérifiée.

Et pour V_n, quelle est-elle ?

Pour si on remplace dans le calcule par 1 on remarque que . Donc V_n+1 est définie pour V_n différent de 1. donc la condition est vérifiée.

Donc les suite U_n et V_n sont bien definie

Certes mais la limite de (4x-1)/(x+2) est bien 4 à l'infini...
Mais comme je l'ai dit plus haut, cela ne nous intéresse pas pour la suite (U_n)_n

Oui effectivement Duke , la limite Un= limite (4x-1)/(x+2) =lim 4x/x= lim 4= 4 n -->+inf

Pour la varition de cette suite je dis :

• Un suite U_n est dite croissante si,U_n+1>ou egale à U_n

Voila

[Duke Alchemist]

Re-

U_n+1 est définie pour U_n
différent de 1. donc la condition est vérifiée.

1 n'est pas une valeur interdite pour U_n il me semble...

Pour si on remplace dans le calcule par 1 on remarque que .
Donc V_n+1 est définie pour V_n différent de 1. donc la condition est vérifiée.

Donc les suite U_n et V_n sont bien definie

Tu veux ma mort...
Si U_n=1 alors V_n n'est pas nul ! Il n'est pas défini... Ce n'est pas du tout la même chose !

Pour la varition de cette suite je dis :

• Un suite U_n est dite croissante si,U_n+1>ou egale à U_n

Voila

Tu confonds la fonction et la suite.
As-tu tracé les termes de la suite jusqu'à U5 ?
Trouves-tu que c'est croissant ?

Duke.

[Raphale]

Re-1 n'est pas une valeur interdite pour U_n il me semble...
.

Je ne vois pas ca serait -2 la valeur interdite

Si U_n=1 alors V_n n'est pas nul ! Il n'est pas défini... Ce n'est pas du tout la même chose !

Ah oui je vois maintenant

Tu confonds la fonction et la suite.
As-tu tracé les termes de la suite jusqu'à U5 ?
Trouves-tu que c'est croissant ?

Duke.

Je n'est pas encore tracé les termes , et non je trouve qu'elle est constante pardon car elle tend vers 4 et non vers + inf

[Raphale]

Re-1 n'est pas une valeur interdite pour U_n il me semble...
.

Je ne vois pas ca serait -2 la valeur interdite

Si U_n=1 alors V_n n'est pas nul ! Il n'est pas défini... Ce n'est pas du tout la même chose !

Ah oui je vois maintenant

Tu confonds la fonction et la suite.
As-tu tracé les termes de la suite jusqu'à U5 ?
Trouves-tu que c'est croissant ?

Duke.

Je n'est pas encore tracé les termes , et non je trouve qu'elle est constante pardon car elle tend vers 4 et non vers + inf

[Duke Alchemist]

Re-

Je ne vois pas ca serait -2 la valeur interdite

En effet, -2 est la valeur interdite or u_n>1 donc u_n est définie.

Je n'est pas encore tracé les termes , et non je trouve qu'elle est constante pardon car elle tend vers 4 et non vers + inf

Eh bien commence par tracer les termes sur le graphique... et/ou éventuellement, calcule-les et tu y verras plus clair.

Propose une réponse pour V_n...

Duke.

EDIT : Cet exercice ressemble beaucoup à celui que tu avais proposé précédemment (revois la méthode du tracé sur cette discussion et déduis la convergence)

[Raphale]

Donc si je reprend ta phrase sa donne :

U_n+1 est définie pour U_n différent de -2 (V.I)or U_n >1 donc la condition est vérifiée U_n est definie

V_n+1 est définie pour V_n différent de -1 (V.I)or V_n >1 donc la condition est vérifiée V_n est definie

2/a/ f(x)=4x-1/x-2
=4x-1/x-2 -x=0
=-x²+2x-1/x+2

Delta=b²-4ac
=2²-4*(-1)*(-1)=0
x0=1


Une fois le graphique tracé, on voit (d'où la conjecture) que les termes de la suite CONVERGE vers 4
Graphiquement, cela se traduit par le fait que ton tracé tend vers (sans jamais l'atteindre) l'intersection de y=x avec y= 4x-1/x-2

Caculons:
U₀ =6
U₁=4*U0-1/U0+2=23/2=2,9cm
U₂=28/13=2,15cm
U₃=79/49=1,61cm
U₄=89/59=1,51cm
U₅=33/23=1,43cm

b/et c/ sur la representation .

U_n est convergente vers 4,
lim Un=lim4x/x=4

si Un>1 alors Un est croissant elle tend vers 4

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Donc si je reprend ta phrase sa donne :

U_n+1 est définie pour U_n différent de -2 (V.I)or U_n >1 donc la condition est vérifiée U_n est definie

OK

V_n+1 est définie pour V_n différent de -1 (V.I)or V_n >1 donc la condition est vérifiée V_n est definie

Euh... Je dirais plutôt V_n est définie si U_n est différent de 1 (d'après la définition de V_n) or U_n est différent de 1 donc V_n est définie.

2/a/ f(x)=4x-1/x-2
=4x-1/x-2 -x=0
=-x²+2x-1/x+2

Delta=b²-4ac
=2²-4*(-1)*(-1)=0
x0=1

Sois plus rigoureux ! Ta fonction n'est plus la même que celle de l'énoncé... Le calcul du discriminant n'est pas utile quand on a une identité remarquable...

f(x)=x
...
(4x-1) - x(x+2) = 0
-x²+2x-1 = 0
-(x-1)² = 0
soit x=1

Au fait, à quoi te sert ce calcul ?

Une fois le graphique tracé, on voit (d'où la conjecture) que les termes de la suite CONVERGE vers 4
Graphiquement, cela se traduit par le fait que ton tracé tend vers (sans jamais l'atteindre) l'intersection de y=x avec y= 4x-1/x-2

Calculons:
U₀ =6
U₁=4*U0-1/U0+2=23/2=2,9cm
U₂=28/13=2,15cm
U₃=79/49=1,61cm
U₄=89/59=1,51cm
U₅=33/23=1,43cm

b/et c/ sur la représentation.

En voyant la représentation que tu as faite, je constate que tu n'as pas compris ce que j'ai proposé dans la discussion précédente concernant le tracé des termes de la suite...
Je te l'expliquerais de nouveau ultérieurement si tu veux

U_n est convergente vers 4,
lim Un=lim4x/x=4

si Un>1 alors Un est croissant elle tend vers 4

Mais non ! Regarde tes valeurs de U₀ à U₅... Elle semblent converger oui mais pas vers 4 !!

Duke.

[Raphale]

Bonjour.OK

Euh... Je dirais plutôt V_n est définie si U_n est différent de 1 (d'après la définition de V_n) or U_n est différent de 1 donc V_n est définie.

Sois plus rigoureux ! Ta fonction n'est plus la même que celle de l'énoncé... Le calcul du discriminant n'est pas utile quand on a une identité remarquable...

f(x)=x
...
(4x-1) - x(x+2) = 0
-x²+2x-1 = 0
-(x-1)² = 0
soit x=1

Au fait, à quoi te sert ce calcul ?

Ce calcule sert théoriquement a calculé V_n+1

En voyant la représentation que tu as faite, je constate que tu n'as pas compris ce que j'ai proposé dans la discussion précédente concernant le tracé des termes de la suite...
Je te l'expliquerais de nouveau ultérieurement si tu veux

Sa serais possible que tu montre la representation de t'es termes ?

Mais non ! Regarde tes valeurs de U₀ à U₅... Elle semblent converger oui mais pas vers 4 !!

Elle converge vers 1



Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

Ce calcul sert théoriquement à calculer V_n+1

Ah bon... Et peux-tu me dire en quoi ?...

Cela sert plutôt à montrer ce qui suit :

Elle converge vers 1

 Cliquez pour afficher

Il me semble que si une limite converge vers une limite finie L alors cette limite vérifie f(L)=L... Tu n'as pas vu ça à un moment donné ?

ça serait possible que tu montres la représentation de tes termes ?

Un dessin étant souvent plus approprié qu'un discours, voici une image du genre de dessin que tu dois avoir.

Duke.

[Raphale]

Re-
Ah bon... Et peux-tu me dire en quoi ?...

Cela sert plutôt à montrer ce qui suit :

 Cliquez pour afficher

Il me semble que si une limite converge vers une limite finie L alors cette limite vérifie f(L)=L... Tu n'as pas vu ça à un moment donné ?

 Cliquez pour afficher

Propriété:Si une suite U_n a une limite finie , alors la limite est unique.

Notation:
Si une suite U_n a une limite finie , on dit effet aussi que la suite est convergente pu qu'elle converge vers et on ecrit lim=

Mais tu confirme qu'elle converge vers 1?

Un dessin étant souvent plus approprié qu'un discours, voici une image du genre de dessin que tu dois avoir.

Oui mais ça ne m'aide pas , c'est tu type de mon 1er ex puisque il s'agit d'une fonction affine or je moi j'ai 4x-1/x+2

[Duke Alchemist]

Re-

Eh bien que constates-tu concernant les valeurs de U₀ à U₅ ?
Elles ont bien tendance à tendre vers 1, non ?

Ton problème réside dans la confusion entre la fonction représentant la suite et la suite elle-même...

Même si ta fonction n'est pas affine le procédé est toujours le même.
Tu pars de U₀=x=6.
Tu montes jusqu'à la courbe C.
Tu traces l'horizontale jusqu'à y=x.
Tu traces la verticale passant par ce point : l'intersection avec les abscisses te donne U₁ et à partir de l'intersection de cette verticale avec la courbe, tu traces l'horizontale et tu recommences jusqu'à U₅...

Maintenant, tu vois que "ton escalier" tend petit à petit vers le point d'intersection de C et de y=x à savoir le point (1;1).
Conclusion : L'ensemble des termes de la suite tend bien vers 1.

Duke.

[Raphale]

Merci j'ai reussi a tracée les termes et il correspondent bien a mes resultat , donc la la conjecture de la limite et la varition de cette suite c'est ce que tu m'as dit ?

Puis pour etudier le sens de variation de cette suite c'est ce que j'vais dit precedement ?

[Duke Alchemist]

Re-

Pour étudier le sens de variation de la suite (U_n)_n, il te faut étudier le signe de U_n+1 - U_n.
Ce n'est pas ce qu'il y a de plus difficile.

Après pense à faire des propositions (après réflexion) concernant la partie III. sachant que des indices ont été donnés dès le début

Duke.

[Raphale]

La suite Uⁿ est strictement décroissante ?

[Duke Alchemist]

Euh oui en effet.
On le sait depuis un moment maintenant

Mets-en davantage !
Plutôt que de répondre une question à la fois et d'attendre qu'on te dise si c'est bon ou pas, cogite et écris ce que tu penses être bon sur une feuille puis fais un bilan ici...
Je ne suis pas "proMSN"... C'est fatiguant ...

Cordialement,
Duke.

[Raphale]

II/Soit la suite U_n definie par U_n=n

On a U_n+1= -(n-1)²=n-2n-1 or -2n-1 <0 donc n-2n-1 <n
Pour tout n , U_n+1<Un . La suite U_n est strictement decroissante.

Je pense que sa soit la bonne justification

III/ V_n+1=1/U_n+1 -1= 1/-Un+1/3U_n= 3U_n/-_n+1

V_n+1-U_n=3U_n/-_n+1-1/U_n-1=1 ----> Je trouve pas

Donc Vn est une Suite arthmetique de raison r= 1 et V₀=1/U0+1=1/2

Je me suis trompé

[Duke Alchemist]

Re-

II/Soit la suite U_n definie par U_n=n
...

III/ V_n+1=1/U_n+1 -1= 1/-Un+1/3U_n= 3U_n/-_n+1

V_n+1-U_n=3U_n/-_n+1-1/U_n-1=1 ----> Je trouve pas
...

(bis)
Tu avais donné la réponse enfin presque dès ton premier message...

Vn+1-Vn= (Un+2/3Un-3)-(1/Un-1)=Un+1/2Un-4= 1

A ceci près que ce qui est en gras est faux

Donc Vn est une Suite arthmetique de raison r= 1 et V₀=1/U0+1=1/2

(ter)
Comment déduis-tu cela ?
U₀ ne vaut pas 1 pourtant ?

Duke
qui va bientôt partir...

[Raphale]

Donc V_n+1-Vn=U_n+2/3U_n-3 - 1/U_n-3 = Un+1/2Un-4=

Mais je ne vois pas comment simplifier

[Raphale]

Pardon c'est (Un+2/3Un-3)-(1/Un-1)

[Duke Alchemist]

Pardon c'est (Un+2/3Un-3)-(1/Un-1)

Tu ne vois pas comment simplifier sans trop d'horreur ?
Mise au même dénominateur...
Simplification du numérateur...
...

Duke

[Raphale]

:==1/3

V_n+1=1/3V_n

Car on a du étudier la différence U_n+1-U_nOui et

Et tu me dis "tu as bien trouver que cette quantité était toujours négative d'où la décroissance, n'est-ce pas ?

Oui mais j'ai pas besoin de mettre le calcul

IIII/aCe qui nous amène à conclure que V_nest suite arithmétique de raison r =1/3
et V₀=1/U₀-1=1/5

Pour etre honnete ,cette reponse ne suffit pas j'ai l'impression!!!

[Duke Alchemist]

Re-

tu as bien trouver que cette quantité était toujours négative d'où la décroissance, n'est-ce pas ?

Oui mais j'ai pas besoin de mettre le calcul

Ben c'est un peu le but de la partie II quand même...

III/aCe qui nous amène à conclure que V_nest suite arithmétique de raison r =1/3
et V₀=1/U₀-1=1/5

Pour etre honnete ,cette reponse ne suffit pas j'ai l'impression!!!

Ton calcul montre pourtant bien que la suite (V_n) est une suite arithmétique de raison 1/3 et de premier terme V₀=1/5.

Où est le problème ?

Duke.

[Raphale]

Aucun problème sa commence a rentrer :

Puis j'ai oublié de dire pour la III

==



III/b
V_n=1/U_n-1
U_n-1=1/V_n
U_n=1/(1/5+1/3n)

c / U0 >=1Un la suite U_n est decroissante
L'ensemble des termes convergent ou tend bien vers 1.