Suite 1erS

[Raphale]

Bonjour à vous ,

Donc voila j'ai un exercice que je n'arrive pas , alors je voudrais avoir une correction assez bien détaillé et expliqué . Merci d'avance

Exercice : (Besoin d'aide )
Un une suite par U0=8
____________Un+1=1/2Un+2


1) Il me demande de déterminer f tel que f(Un)=Un+1
2) Puis je dois ensuite faire une représentation de la fonction f et la droite D:y=x dans un repère d'unité 2cm
3)Je dois ensuite représenter les 1er termes de la suite (Un) sur le graph précédent jusqu'à U5
4) Conjecturer la divergence ou convergence de la suite
5) Je dois montrer par récurrence que Un est different de 4 pour tt n entier naturel
6) On pose Vn=Un-4. Je dois montrer que la suite (Vn) est une S.G que l'on determinera
7)Je dois exprimer Vn,puis Un en fonction de n
8)Faire la lim de la suite (Un)
Et pour finir exprimer en fonction de n l somme :Sn=U0+U1+...+Un. Donner la limite de cette somme .

Merci de m'aider =)
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Dans un premier temps serait-il possible d'avoir quelques précisions pour éviter les confusions dans les notations :
faut-il lire U_n+1 ou U_n+1 ?
U_n+2 ou U_n+2 ?
Et c'est bien "1/2" en facteur ?

Pour le 1., c'est U_n+1 ou U_n+1 ?

Toutes ces précisions, c'est pour m'éviter de trop cogiter en fait...

Duke.

[Raphale]

Pour les notations :
U_n+1 1/2 U_n+2

Oui c'est donc 1/2 en facteur

Y a pas de problème Duke . =)

[Raphale]

Pardon donc c'est : U0=8
_______________U_n+1= 1/2 U_n+2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Encore une précision concernant la question 1. Que faut-il lire exactement (notation) ?

Je ne vois pas de difficultés particulières pour les questions 3 à 8.
Excepté le résultat que j'obtiens pour la somme qui me semble bizarre... mais l'ayant fait rapidement, il est possible que je me sois trompé quelquepart...

Duke.

[Raphale]

Il faut lire U_n+1 pour la quastion 1

Merci de me montrer ce que tu as fais =) .

[Duke Alchemist]

Re-

Je ne suis pas sûr de bien saisir la première question...
Suffirait-il de réécrire ce qui est au-dessus ?...

Le 2), je ne peux rien faire pour toi.
Que trouves-tu comme résultats pour la 3) ?

Pourquoi te montrerais-je ce que j'ai fait ?...

Duke.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

J'ai saisi la question 1.
Il te faut écrire la fonction f associée à x qui corresponde à la définition de la suite proposée.

Euh... j'attends toujours tes propositions

Duke.

[Raphale]

Bah en faite je te demande de me faire voir ce que tu as fait car c'est pas un exercice similaire de mon DM mais il en fait pas partie j'en ais aussi du meme genre , mais je dois comprendre cette exercice . Merci à toi Duke.

[Raphale]

Oui c'est exactement ca tu remplace Un par x puisque c'est une fonction pour la 1)

[Duke Alchemist]

Re-

Bon ben il n'y a plus qu'à faire des propositions alors.
1) quelle expression proposes-tu pour f(x) ?
2) RAS
3) RAS je pense sauf si tu ne sais pas comment représenter les termes d'une suite sur un graphique
4) Il n'y a qu'à faire une conjecture (qui semble sauter aux yeux (a priori)
5) Tu connais les étapes de la récurrence ? (IMPORTANT)
6) Tu as l'expression de v_n. Déduis l'expression de v_n+1 et effectue le rapport v_n+1/v_n. Si tu as un terme constant (et c'est le cas ici) alors (v_n)_n est une suite géométrique dont le terme constant est la raison (Voir définition de la S.G. en cas de doute).
7) Pas de difficultés. Quel est le terme générale d'une S.G. ?
N'oublie pas de calculer le premier terme de la suite v₀.

8) Vérifions ainsi la conjecture établie au 4)

Duke.

[Raphale]

D'accord Duke je te fais ca pour Lundi et tu me diras si j'ai bon ok .

[Raphale]

1) La fonction f est f(x)=1/2x+2
2) Ca forme une une fonction homographique mais après j'ai du mal a représenter les termes jusqu'à U5

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Tu pars du point de coordonnées (8;0). u₀=8
Tu montes jusqu'à la droite d'équation y=1/2x+2 (-> point (8;6))
Puis suivant l'horizontale tu rejoins la droite y=x (-> point (6;6))
Puis suivant la verticale de ce point tu descends jusqu'à l'axe des abscisses (-> u₁=x=6).
Du point (6;6), tu rejoins la droite y=1/2x+2...

Continue de la même manière jusqu'à u₅... même si ce n'est pas très visible par la suite mais tu pourras toujours émettre ton hypothèse.

Cordialement,
Duke.

[Raphale]

Bonjour Duke et à ce qui suivent ,

Pour ma représentation graphique je fais 2 cm pour 1 unité =1cm ,en horizontal donc en abscisse jusqu’à 9 cm et en ordonné je fais 1cm pour 1 unité , car sinon on a l'impression que ma courbe chute de 0 à 3,5 et qu'après sa stagne ?

Pour le 1) Def récurrente pour f(Un)=Un+1
U0=8
U1=1/2*8+2=6
U2= 1/2*6+2 =5
U3=1/2*5+2=4,5
U4=1/2*4,5+2=4,25
U5=1/2*4,25+2=4,125

2) Représentation graphique :

On trace D:y=x sur Df
Cf avec f(x)=1/2x+2

Et c'est a ce moment que intervient ma question ci-dessus

[Raphale]

J'ai trouvé mon erreur stupide j'avais mal tapé ma fonction désolé

[Raphale]

J'ai trouvé mon erreur stupide j'avais mal tapé ma fonction désolé

C'est une fonction affine .

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
Et c'est a ce moment que intervient ma question ci-dessus

Et à laquelle j'ai répondu juste au-dessus, on est d'accord ?

Duke.

[Raphale]

Oui oui Duke , désolé je pense que je vais finir l'exercice demain ou ce soir .

PS:J'ai été à la journée d'appel c’était sympa, je suis allée dans une base aerienne ou j'ai pus parler avec deux pilotes de l'Escadron de transport 01.062 Vercors sur CASA CN-235M-200 , et je suis allées faire un tour dans le cockpit .

[Raphale]

On voit que la suite est divergente car elle tend vers plus infinie mais je ne vois pas comment conjecturer !

[Raphale]

Donc la je ne trouve pas le moyen pour faire la conjecture de la divergence de la suite et à la prochaine question pour f(x) =x , f(x)=1/2*x+2=x
=1/2*x+2-x=0
=1/2x+2-x*2
=-2x/2

Je trouve ça bizarre !!!

[Duke Alchemist]

Bonjour.

On voit que la suite est divergente car elle tend vers plus infinie mais je ne vois pas comment conjecturer !

... Comment vois-tu cela ?

Une fois le graphique tracé, on voit (d'où la conjecture) que les termes de la suite CONVERGE vers 4, non ?
Graphiquement, cela se traduit par le fait que ton tracé tend vers (sans jamais l'atteindre) l'intersection de y=x avec y=1/2x+2 qui est le point (4;4).

f(x)=1/2*x+2=x
=1/2*x+2-x=0
=1/2x+2-x*2

D'où vient ce 2 en rouge ?
Personnellement, quand je résous cette équation, je trouve x=4.
Cela n'a rien de paranormal

Duke.

[Raphale]

Bonjour Duke,

"Graphiquement, cela se traduit par le fait que ton tracé tend vers (sans jamais l'atteindre) l'intersection de y=x avec y=1/2x+2 qui est le point (4;4)." Conjecture ?

Je sais pas pourquoi j'ai mis que ça convergeais vers + inf , c'est donc ça la conjecture ?

Puis:
=1/2*x+2-x=0
=1/2x+2-x

En remplaçant par x=4 , on trouve 1/2*4+2-4=0

Mais je pense que je ne peu pas permettre de résoudre de cette manière .

[Raphale]

Pour la 4 )

ConjectureUn)est convergente;je m'explique.Le "chemin" entre
la droite y=1/2x+2 et y=x "descend" vers le point (intersection des droites y=1/2x+2 et y=x)de coordonnées (4;4)(regarde tes termes U1,U2,U3,U4..ils "convergent"vers 4;
Pour conjecturer la convergence ou les variations d'une suite recurrente observe toujours le chemin (les traits que tu dessine
en partant de Uo vers U1 puis de U1 vers U2 et ainsi de suite..
D'ailleurs on peut aussi conjecturer la decroissance de (Un).

?

[Raphale]

5/recurrence;
Initialiser:Uo=8#4 (#different)
on suppose Un#4
Un#4 on multiplie par 1/2 :1/2Un#2 on ajoute 2 et 1/2Un+2#4 donc
U(n+1)#4 donc P(n)===>P(n+1)

Mais nous dans le cours on fait plutot Uk-4=1/2Uk+2-4= ..
mais j'arrive pas a resoudre de cette maniere

[Raphale]

J'attends votre aides ,et propositions avaec impatience

[Raphale]

7)On pose Vn=Un-4.

On calcule V(n+1)=U(n+1)-4 et on remplace U(n+1)on a
V(n+1)=1/2Un+2-4 et V(n+1)=1/2Un-2 on met 1/2 en facteur et
V(n+1)=1/2(Un-4)ce qui est entre parenthèses est Vn donc
V(n+1)=1/2Vn suite géométrique de raison q=1/2 et Vo=Uo-4=8-4=4
donc Vn=4(1/2)^n.
Vn=Un-4<===>Un=Vn+4<==>Un=4(1/2)^n+4 expression de Un en fct de n

8)La limite de la suite (Un): (Je crains qu'il y a des erreurs)
Un=4*(1/2)^n+4 ----------- S.G U0=8 et de raison q=1/2 supérieur à 0
lim (n tend vers +inf)=0
Car -1<1/2<1 Donc Un est croissante !

9)En f° de n la somme : U0=8 q=1/2
Sn=U0+U1+...Un=U0*1-q^n/1-q^n
=8*1-(1/2)^n/1-(1/2)
Je ne vois pas comment simplifier , vue que j'ai n en "dégres"ex.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
Je sais pas pourquoi j'ai mis que ça convergeais vers + inf

Tu n'avais pas écrit cela d'autant plus que c'est impossible

, c'est donc ça la conjecture ?

Selon toi ?
Tu sais ce qu'est une conjecture ?

Puis:
=1/2*x+2-x=0
=1/2x+2-x

En remplaçant par x=4 , on trouve 1/2*4+2-4=0

Mais je pense que je ne peu pas permettre de résoudre de cette manière .

Ben tu peux résoudre de manière classique, non ?
1/2*x+2-x=0
-1/2*x+2 = 0
1/2*x=2
x=4

Mais bon je ne pense pas que ce soit utile ici.
Quoique la résolution de ce style d'équation est à savoir faire malgré tout...

Pour la 4 )
ConjectureUn)est convergente;je m'explique.Le "chemin" entre
la droite y=1/2x+2 et y=x "descend" vers le point (intersection des droites y=1/2x+2 et y=x)de coordonnées (4;4)(regarde tes termes U1,U2,U3,U4..ils "convergent"vers 4;
Pour conjecturer la convergence ou les variations d'une suite recurrente observe toujours le chemin (les traits que tu dessine
en partant de Uo vers U1 puis de U1 vers U2 et ainsi de suite..
D'ailleurs on peut aussi conjecturer la decroissance de (Un).

?

C'est vrai qu'on peut préciser qu'elle décroit (j'avais zappé ) en convergeant vers 4...

5/recurrence;
Initialiser:Uo=8#4 (#different)
on suppose Un#4
Un#4 on multiplie par 1/2 :1/2Un#2 on ajoute 2 et 1/2Un+2#4 donc
U(n+1)#4 donc P(n)===>P(n+1)

Mais nous dans le cours on fait plutot Uk-4=1/2Uk+2-4= ..
mais j'arrive pas a resoudre de cette maniere

Je pense que tu voulais écrire U_k+1-4.
Dans ton cours, je pense qu'on voulait montrer que cette quantité était non nulle.

or
donc donc

7)On pose Vn=Un-4.

On calcule V(n+1)=U(n+1)-4 et on remplace U(n+1)on a
V(n+1)=1/2Un+2-4 et V(n+1)=1/2Un-2 on met 1/2 en facteur et
V(n+1)=1/2(Un-4)ce qui est entre parenthèses est Vn donc
V(n+1)=1/2Vn suite géométrique de raison q=1/2 et Vo=Uo-4=8-4=4
donc Vn=4(1/2)^n.
Vn=Un-4<===>Un=Vn+4<==>Un=4(1/2)^n+4 expression de Un en fct de n

Très bien si ce n'est que l'expression finale peut être factorisée par 4

8)La limite de la suite (Un): (Je crains qu'il y a des erreurs)
Un=4*(1/2)^n+4 ----------- S.G U0=8 et de raison q=1/2 supérieur à 0

Non ! Ce n'est pas (U_n)_n la suite géométrique mais (V_n)_n !

lim (n tend vers +inf)=0
Car -1<1/2<1 Donc Un est croissante !

Tu n'as pas l'impression de te contredire un peu là (avec le début de l'exercice)

9)En f° de n la somme : U0=8 q=1/2
Sn=U0+U1+...Un=U0*1-q^n/1-q^n
=8*1-(1/2)^n/1-(1/2)
Je ne vois pas comment simplifier , vue que j'ai n en "dégres"ex.

Je pense que sans la confusion du 8), tu devrais pouvoir t'en sortir...

Duke.

[Raphale]

Si si je vois effectivement la confusion , Vn devrait être décroissante , mais dans mon cours quand c'est compris entre -1<1/2<1 ca peut etre que croissant hors je sais pertinemment qu'elle est décroissante .

Pour la somme , je vois pas vraiment mon erreur car il faut trouvé un résultat je mes Sn=8*1-q^8/1-q q different 1
-------------------= 8*1-q(1/2)^8/1-(1/2)

[Raphale]

Pour Vn=Un-4 , je vois pas l'utilité de factoriser par 4 !!!