1ere S comportement asymptotique d'une suite
TP / TD comportement asymptotique d'une suite
On part d’un carré de côté 10 unités. Sur chaque côté, en tournant dans le même sens, on place un point situé à la distance 1 de chaque sommet du carré. Et on recommence…
En observant cette figure, on peut se demander si le dessin s’arrête et comment évoluent les côtés et les aires des carrés.
I 1ere partie
1. Établir que l’on obtient bien ainsi un nouveau carré. On note K1, K2,… la suite des carrés obtenus et k 1, k2,… la mesure de leurs côtés.
2. Construire les premiers pas de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique.
3. Déterminer une relation de récurrence qui relie k n et k n+1. À l'aide de cette relation, construire une feuille de calcul qui donne les 20 premiers termes de la suite (kn).
a) Vérifier que les résultats obtenus correspondent aux mesures effectuées sur la figure.
b) Comment évolue cette suite ? Est-ce cohérent avec les observations graphiques ?
TOUTE CETTE PARTIE A ETE FAITE !!!
2eme partie
1. Etude de (k n)
a) Est-il possible qu'un terme k n soit strictement inférieur à 1 ? On proposera une réponse géométrique et une réponse calculatoire. Réponse kn+1> ou égal à 1
b) Démontrer que (k n) est monotone (on pourra comparer kn2 et kn+12 ). FAIT
c) Existe-t-il un rang p tel que k p=1 ? Réponse = NON
2. Etude du comportement asymptotique de (k n)
On s'intéresse pour cela à la suite (un) définie par un=k n – 1 .
a) Démontrer que (un) est décroissante.
b) Démontrer que (un) est à termes strictement positifs.
c) Ecrire une relation de récurrence qui relie un+1 et un .
d) Déduire de cette relation de récurrence que 2 un+1=un2−un+12puis que un+1 < (un2)/2 .
e) À partir de quel rang a-t-on un<1 ? À partir de ce rang, il est facile de voir que la suite
(un) converge vers 0 : pourquoi ?
f) Que peut-on en déduire sur la convergence et la limite de (k n) ?
Toute cette partie est rester insoluble. Pourriez vous m'aider ?????
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