Bonjour,

je suis en train de faire un corrigé pour des exercices du livre de Boyce et DiPrima (cours de math pour ingénieurs). Malgré la simplicité d'un problème, je n'arrives pas à expliquer la réponse de l'auteur. J'aurais besoin de votre avis, à savoir si je me trompe ou s'il y a erreur dans le livre.

Voilà l'énoncé du problème. Pour l'équation différentielle donnée, il faut déterminer les points d'équilibre et préciser si chacune des solutions est asymptotiquement stable ou instable.

L'équation différentielle est

.

Les solutions d'équilibre sont celles où sa dérivée est nulle, c'est-à-dire soit ou . Il est aisé de montrer que la solution à cette équation différentielle est

.

Si on la réécrit en terme de la condition initiale , on trouve

.

Il y a définitivement une singularité lorsque

,
,
.

Voilà l'essentiel nécessaire pour répondre à l'énoncé. La réponse des auteurs est la suivante:
1. Si et et , alors est instable.
2. Si et et , alors est asymptotiquement stable et est instable.

Ce que je ne comprends pas, c'est qu'ils puissent dire que la solution est asymptotiquement stable et ce même s'il est permi à d'être aussi proche de zéro que souhaité. Dans le cas où est très près de (mais pas égal à) zéro, nous avons une singularité de la fonction à

.

Ainsi, aussi grand choisirez-vous , aussi petit je peux choisir de sorte qu'il y a une singularité au point que vous avez choisi. Je ne vois absolument pas comment conclure, ni dans l'énoncé 1 ni dans l'énoncé 2 (ci-haut), à un comportement asymptotiquement stable de lorsque est grand. Je ne vois donc pas comment arriver à la réponse des auteurs.

Merci pour votre aide,

Simon