Fonction à rendre pour mardi prochain .

[nawer56]

Bonjour et merci à ceux qui prendrons le temps de lire cette exercice. Je poste ici mon 1er DM de math de l'année (je suis en terminale S) Et je me retrouve coincé sur une partie de l'exercice , je soupçonne une erreur de calcul, mais je n'arrive pas à la voir ... Ou alors de raisonnement allons savoir .

0°) Préliminaire

Vérifier que pour tout x appartenant à R x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)

en développant l'expression je tombe bien sur x^3-1 pas de soucis sur cette question.

1°) Soit f(x)= (x+1)/(x^3-1) Justifier que f est définit sur R-(1)

On effectue donc une recherche de valeurs interdite car il s'agit d'une fraction , on pose :
x^3-1=0
x^3 =1
x =1

On en déduit donc que f est bien définit sur R-(1)

2°) a/ Déterminer la limite de f aux bornes de son ensemble de définition
b/ Que peut-on en déduire pour la courbe c?

a/ lim f(x)= (x+1)/(x^3-1) <=> lim x/x^3 <--- car au voisinage de l'infini la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du monôme le plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
x->+infini x->+infini

On obtiens donc lim 1/x^2= 0 d'où lim f(x)=0

On effectue de même pour -infini on trouve 0 logique nan

b/ On en déduit donc une asymptote horizontale en 0.

3°/ Démontrer que pour tout réel de D, f'(x)= P(x)/((x^3-1)^2) où P est un polynome de degré 3 que l'on précisera.

Calcul de f'(x)= (x^3-1-3x^2(x+1))/((x^3-1)^2)
=(x^3-1-3x^3+3x^2)/((3x^3-1)^2)
= (-2x^3-3x^2-1)/((x^3-1))^2
On a donc P(x)= -2x^3-3x^2-1

4°) a/ Étudier les variations de P sur R
b/ Donner des argument permettant d'affirmer que l'équation P(x)=0 admet une unique solution @(alpha xD)
c/ Déterminer une valeur approcher à 10^-2 près de @

a/ Étudier les variations de P revient à étudier le signe de P'(x)

soit P'(x)=-6x^2-6x
=-6x(x+1)
-6x=0 ou x+1=0`
x=0 ou x=-1

on obtiens comme variation P(x) décroissante sur )-infini;-1(u)0;+infini(
et P(x) croissant sur )-1;0(

PS: désolé pour l'écriture mais je suis sous mac et je n'ai pas encore trouver les raccourcis de crochet.

b/ viens le tour de la question b , rien n'a l'air compliqué mais pourtant je bloque. Je conjecture une solution évidente qui serait 1 ce qui donnerais -2*(1)^3+3*(1)^2-1=0
mais de ce fait la question c m'interpelle avec le fait que @ dois s'obtenir sous forme de valeur approché à 10^-2 ^près ,

voila la source de mon problème si quelqu'un à la réponse je suis preneur. je pense avoir juste besoin d'un petit coup de pouce je me débrouillerai pour le reste
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[pallas]

Revois la dérivée -par + egal -

[nawer56]

Calcul de f'(x)= (x^3-1-3x^2(x+1))/((x^3-1)^2)
=(x^3-1-3x^3-3x^2)/((3x^3-1)^2)
= (-2x^3-3x^2-1)/((x^3-1))^2
On a donc P(x)= -2x^3-3x^2-1

Il s'agit d'une erreur de recopie merci de me l'avoir signaler pourtant la dérivé semble être juste non ?

[pallas]

oui c'est exact

[A voir en vidéo sur Futura]

[nawer56]

Donc je suis bloqué vu la question suivante.
On m'a parlé du théorème de bijection, mais cette une notion qu'on a pas encore vu et j'aimerai savoir si il n'y avait pas un moyen alternatif de contourner le problème

[Tryss]

Calcule la valeur de P(-1) et P(0).

Connaissant le sens de variation de P, qu'est ce que tu peux déduire sur les valeurs de P sur ]-oo,-1], sur [-1,0] et sur [0,+oo[ ?

[nawer56]

P(0)=-1 et P(-2)= -2 on en déduit que les valeurs de P(x) sur (-1;0) son strictement négatif
et donc sur ]-oo,-1] les valeurs vont vers des termes positifs
en [-1,0] les valeurs sont comprise entre -2 et -1 de plus on peut même dire que sur l'ensemble ]0,+oo] x prend pour valeur inférieur ou égale à -1
J'ai beau remuer ça dans toutes les directions je vous avoue que je n'en vois pas le bout ...

[nawer56]

Je n'ai pas trouver le bouton edite je viens de comprendre où tu voulais en venir. En faites il suffit que je lise dans mon tableau de valeur à quel moment approximatif il y a un changement de signe je dois étudier la question donc sur l'intervalle ]-oo,-1] .
Merci de ce petit coup de pouce

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1°) Soit f(x)= (x+1)/(x^3-1) Justifier que f est définit sur R-(1)

On effectue donc une recherche de valeurs interdite car il s'agit d'une fraction , on pose :
x^3-1=0
x^3 =1
x =1

On en déduit donc que f est bien définit sur R-(1)...

Bizarrement, pour cette question, je pense que rigoureusement, il faudrait plutôt utiliser la question préliminaire pour justifier le résultat...

Duke.

[nawer56]

Bonsoir.
Bizarrement, pour cette question, je pense que rigoureusement, il faudrait plutôt utiliser la question préliminaire pour justifier le résultat...

Duke.

J'y est aussi pensé mais on observe plus loin dans l'exercice que cette expression nous sert pour un calcul .


4°/ b) Soit P(-1)=-2 et P(0)=-1
d'après le tableau de variation pour trouver P(x)=0 on doit s'intéresser à l'intervalle ]-oo,-1] , on sait que sur ]0;+oo] les résultats sont strictement négatif.
Or d'après le tableau de variation en ]-oo,-1] la courbe est strictement croissante il s'agit par ailleurs d'un polynome de degrés 3 donc il n'y a pas d'oscillation.

c/ Donc grâce au tableau de valeur de la calculette on en déduit après plusieurs recherche qu'il y a changement de variation pour x=-1,68 , f(x) prend pour valeur 0,016 alors que pour x=1-67, f(c) prend pour valeur -0,051
Donc @= -1,68

5°/ D'après les résultats des question précédentes, déterminer les variations de f sur son ensemble de définition
Capture d’écran 2011-09-18 à 19.31.52.png

6°/ a/ Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d’abscisse 0
b/ Préciser la position de la courbe C par rapport à T

f'(0)=P(0)/(0^3-1)^2
=-1/1^2
= -1

Soit T:y=f'(0)(x-0)+f(0)
d''ou T:Y=-x-1

b/ Etudier les positions de deux courbes reviens à étudier le signe de la différence soit :

(x+1)/(x^3-1)-x-1=0
(x+1)+(x-1)(x^3-1)/(x^3-1)=0
(x+1+x^3-1)/(x^3-1)+0 d'après 0°/
(x^3+x)/(x^3-1)=0
(x(x^2+1)/(x^3-1)=0

Soit x=0 ou x^2+1=0 <----- un carrée n’est jamais négatif donc il n'y a qu'une seul valeur annulant ce trinôme soit 0

Capture d’écran 2011-09-18 à 19.44.53.png

Je trouve ce résultat bizarre pour une tangente ci quelqu'un à une réponse ou voit une faute dans mon raisonnement je suis preneur. Et je tiens à remercier ceux qui m'ont déjà aider avec leur petit conseil