Prmitives;

[inviteedf3f3bd]

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (x^3+2x^2+x+1)/(x^2+1)

Questions :

1) justifier l'existence de la primitive F de f sur R et qui vérifie F(0)=1

2) montrer que f(x) = (-1/(x^2+1))+x+2 pour tout réel x, puis que f(x) > x+1 sur R.

3) on considère les fonctions g et G définies sur R par g(x) = f(x) - (x+1) et G(x) = F(x) -0,5x^2 -x-1.

a- déterminer les variations des primitives de g sur R
b- à l'aide de G, démontrer que F(x) > 0,5x^2 +x +1 sur R+ .

4- déterminer la limite de F en +infini.

Ma réponse:
1) La fonction étant définie sur R, elle est donc continue et admet une primitive.
C'est la seule chose que j'ai réussie a faire en 4heures, j'ai vraiment besoin d'aide je crois..
Merci d'avance. Sachant qu'on ne doit pas calculer les primitives.
-----

[invite152a412d]

Je vais t'aider un peu pour la question 2 :

On a essaye juste de tout mettre sur le même dénominateur c'est à dire développe le numérateur et ordonne et tu vas retrouver ton donné dans l'énoncé.

Pour la deuxième partie de ta question on va se servir de ce qu'on vient de montrer c'est à dire et essaye de trouver l'inégalité en partant de ça :

car donc si on divise (-1) par un nombre positive on va se retrouver avec quelque chose plus petit encore que -1.

Donc si on a ... et là je t'ai même quasiment donné la réponse

[invite371ae0af]

2)(-1/(x^2+1))+x+2 met au même dénominateur, tu trouveras l'expression de départ


3)a) g(x) est la dérivées des primitives donc les variations des primitives s'obtiennent en regardant le signe de g(x).
g(x)>=0 ssi f(x)>=x+1 ce qui est vrai d'après 2) donc g(x)>=0. Les variations sont donc croissantes

3)b) cela revient à montrer que G(x)>0
si tu calcules la dérivée tu as: G'(x)=g(x)=f(x)-x-1 or g(x)>=0 d'après 3)a) donc G'(x) est positive sur R+. D'où G est croissante sur R+. le minimun est atteint lorsque x=0. G(0)=F(0)-1=0
donc tu as bien G(x)>=0

4) quand x tend vers +oo, 0,5x^2 +x +1 tend vers +oo. et comme F(x) > 0,5x^2 +x +1 tu auras F(x) qui tend vers +oo