fonction exponentionnelle

invited2dece9a · 31/10/2011, 22h31

Bonjour,jai quelque difficulté pour mon dm Le problème suivant propose l'étude de la fonction numérique définie sur par: f(x)=(2x-4)ex/2+2-x.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal du plan (0;i;j). 1)
Soit g la fontion numérique définie pour tout réel x par g(x)=x-e(-x/2)
a) Etudier le sens de variation de g. (Préciser les limites de g en + et- infini
b) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution a
c) En déduire le signe de g(x).
2) a) Etudier les variations de f.
b) Démontrer que f(a)=4-a-4/a. En déduire un encadrement de f(a) d'amplitude 0.1.
3) a) Déterminer lim f(x) en + et - infini
b) Démontrer que la droite D d'équation y=2-x est asymptote à (C) quand x tend vers -infini
4)Tracer (C) et D sur le même graphique.
5)a) Calculer les coordonnées des points A & B d'intersection de (C) et de l'axe des abscisses.
b) Soit E le point d'intersection de (C) et de l'axe des ordonnées. Etablir une équation de la tangente T à (C) en E et tracer T.

voici mes reponces :
1)
a)g'(x)=1+1/2e(-x/2) dons g(x) est croissante
limg(x)en - infini= - infini
limg(x)en + infini= + infini
b)je n 'ai pas fait
2) a)f'(x)=xe(x/2)-1 (vraiment pas sur)
b) g(a)=0
a-e(-a/2)=0
a=1/e(a/2) e(a/2)=1/a
f(a)=(2a-4)e(a/2)+2-a
=(2a-4)1/a+2-a = 4-4/a-a
3) a) lim en - infini=je trouve une forme indeterminé
lim en + infini= + infini
b) je n'ai pas reussi
5)a) f(x)=0
(2x-4)e(x/2)+2-x=0
f(x)=(x-2)(2e(x/2)-1)
f(x)=0 si x=2 ou si 2e(x/2)+1
x/2=(1/2)/e
x=1/e
b) je n'ai pas reussi
aidez moi svp c'est pour jeudi

**fiatlux** · 31/10/2011, 23h39

Salut

1a) ok
1b) faut te servir du point (a). T'as cherché la limite en moins l'infini, en plus l'infini, et ta fonction est strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini. Il y a donc forcément un endroit (et un seul, puisqu'elle est strictement croissante) où elle passe des négatifs aux positifs en coupant l'axe des x. C'est ton point a, et g(a)=0.
1c) faut te servir de (b). Pour x < a, g est.... Pour x=a, g est... Pour x > a, g est....
2a) ta dérivée est fausse. Je te rappelle que quand ta fonction f est faite d'un produit de deux autres fonctions, disons, h(x) et k(x), genre $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ (règle de la dérivée d'un produit de fonctions). Dans ton cas h(x) c'est 2x-4 et k(x) c'est $\text{[math]}$ . Et derrière t'ajoutes simplement la dérivée de 2-x et c'est bien -1.
2b) ok
3a) ok pour +infini mais pour -infini, on a bien (a priori) une forme indéterminée mais en fait non. Faut te souvenir d'une chose: la croissante linéaire, ici 2x-4, croît moins vite que la croissance exponentielle ( http://www.dglaymann.com/IMG/pdf/Cro...lineaire-5.pdf ). Pareille pour la décroissance. Autrement dit $\text{[math]}$ tend plus vite vers 0 que (2x-4) tend vers -infini. Donc au final la limite quand x tend vers -infini de $\text{[math]}$ c'est 0. Reste 2-x donc la limite c'est +infini.
b) ça devient tout simple avec le point 3a).
5a) ok jusqu'à $\text{[math]}$ . Donc soit x=2 soit $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Je te rappelle que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .
5b) calcule les coordonnées du point E. C'est (0; f(0)). Puis je te rappelle que la pente de la tangente à une courbe f en un point E c'est la dérivée de f en E, donc f'(E). La dérivée que tu auras calculé au point 2a. Et pour avoir l'équation d'une droite (un tangente étant une droite) il faut sa pente et son ordonnée à l'origine. Et ça tu l'as, puisque t'as le point E, c'est f(0). Donc ta tangente sera y=mx+b où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine.

invited2dece9a · 31/10/2011, 23h50

merci je viens de comprendre mes erreurs des fois tout bete

invited2dece9a · 31/10/2011, 23h56

juste une chose nous n'avons pas appris avec "ln" , je n'ai jamais vu ce mot

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fiatlux** · 01/11/2011, 00h36

T'es sûr ? parce que dans ce cas-là tu ne peux pas répondre à la question 5a. Le "ln" c'est le logarithme naturel ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_naturel ) autrement dit la fonction réciproque de l'exponentielle, c'est-à-dire que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Ou comme le dit si bien Wikipédia: "Le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x."

invited2dece9a · 01/11/2011, 08h51

j'en suis certaine c'est pas grave j'ecrirais "ln"

invited2dece9a · 01/11/2011, 08h59

la derivee de f'(x)=2e(x/2)+(2x-4)1/2e(x/2)-1
= 2e(x/2)+xe(x/2)-2e(x/2)-1
donc =xe(x/2)-1

ce n'est pas ca ?

**jamo** · 01/11/2011, 09h08

Bonjour
la dérivée de e(u(x)) est u'(x)*e(u(x)) où e designe la fonction expo...
ps : oui elle est correcte la dérivée.

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h11

c'est ce que j'ai fait =(x/2)'*e(x/2)
= 1/2e(x/2)

**jamo** · 01/11/2011, 09h14

j'ai réédité ma réponse

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h17

donc ma derivee est fausse ou pas ?

**jamo** · 01/11/2011, 09h18

elle n'est pas fausse

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h18

non je suis desolé je n'avais pas vu

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h25

j'ai une autre question pour la lim en + infini
lim2-x en +infini = +infini
lime(x/2) en + infini= + infini
donc ce produit donne + infini
puis lim 2-x en + infini= - infini
donc cette somme donne une forme indeterminéé je n'arrive pas a l'enlever

**jamo** · 01/11/2011, 09h28

Envoyé par nanak

j'ai une autre question pour la lim en + infini
lim2-x en +infini = +infini

tu es sur(e)?
tu peux factoriser f(x) par (2-x)

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h31

ce n'est pas 2-x que je voulai ecrire c'est 2x-4
lim2x-4 en + infini = +infini

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h32

mais il ya comme meme une indetermination non ?

**jamo** · 01/11/2011, 09h37

f(x)=(2x-4)exp(x/2) + 2-x
=(2-x)(-2exp(x/2) +1 )
lim(2-x) = -oo qd x->+oo
lim -exp(x/2) = -oo qd x -> +oo
oo : désigne l'infini

invited2dece9a · 01/11/2011, 09h44

a ok fallait factoriser merci de ton aide

fonction exponentionnelle