Devoir maison 1er S - Vecteurs et droite d'Euler

[invitebfd4f968]

ABC est un triangle quelconque du plan.
A', B' et C' sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].

1°) Soit G le ponit du plan défini par vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.

a. Démontrer que vecteur AG = 2*vecteur GA'. Qu'en déduit-on pour A, G et A' ?
b. Démontre que B, G et B' sont alignés.
c. Que représente G pour le triangle ABC ? Justifier.
d. Démontrer que vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'. (penser à utiliser l'égalité vecteur AG = 2*vecteur GA')

2°) Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC et H le point défini par : vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.

a. Démontrer que vecteur AH = 2*vecteur OA'.
b. En déduire que H est sur la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
c. Démontrer que H est aussi sur la hauteur issue de B.
d. Que représente H pour le triangle ABC ?

3°)
a. Démontrer que vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC = 3*vecteur OG.
b. En deduire que O, G et H sont alignés.
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[invitebfd4f968]

1°) a. Qu'en déduit-on pour A,G et A' ?

J'en déduit qu'ils sont alignés. Mais comment le prouver ? Comment démontrer que vecteur AG = 2*vecteur GA' ?

c. Que représente G pour le triangle ABC ? Justifier.

Soit H le centre du cercle circonscrit, omega l'orthocentre et T le centre de gravité.
Le point G représente le centre de [omegaH] soit le centre du cercle d'Euler car le centre du cercle d'Euler est le centre du segment [omegaH].

d. Démontrer que vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'. (penser à utiliser l'égalité vecteur AG = 2*vecteur GA')

On a démontré précedement que A,G et A' étaient alignés.
Donc : vecteur AA' = vecteur AG + vecteur GA'
vecteur AA' = 2 * vecteur GA' + vecteur GA'
vecteur AA' = 3 * vecteur GA'
Et vecteur AG = 2 * vecteur GA
Donc : vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'.


Est-ce que cela est bon ? Pouvez-vous m'aider svp. Merci beaucoup d'avance.

[invite07dd2471]

bonjour,

pour la 1a tu pars de ta relation entre G,A,B et C, ça te donne (tout ce que j'écris est en terme de vecteurs)
AG=GB+GC, et après il faut introduire A' (puisque c'est dans la relation demandée). On utilise donc chasles (GB=GA'+A'B, et idem pour GC)
ça te donne AG=GA'+A'B+GA'+A'C.
Or A'B+A'C=0 car A' milieu de BC (tu peux toujours faire un petit dessin pour t'en convaincre)
d'où le résultat demandé.

c) c'est le centre de gravité (d'où le nom de G!!) : en effet, c'est le point d'intersection des médianes, où barycentre éventuellement mais je pense que vous ne l'avez peut-etre pas encore vu vu comment est tourné l'exo.

d) J'ai pas regardé les détails du calcul mais ça me parait juste en utilisant chasles comme tu as fait

[invite427a7819]

Bonjour,

Je me permets d'ajouter qu'il est inutile de préciser que les points sont alignés pour utiliser la relation de Chasles, c'est ce qui fait tout l'intérêt d'utiliser des vecteurs !

Pour la suite, si tu as encore besoin d'aide... La première relation du 2 se démontre un peu comme celle du 1. D'abord, essaie de décomposer vecteur AH en vecteur AO + vecteur OH, tu peux alors te servir de la définition de H, et reconnaître, à peu de choses près, le cas du 1. Le reste en découle =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfd4f968]

ABC est un triangle quelconque du plan.
A', B' et C' sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].

1°) Soit G le point du plan défini par vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.

a. Démontrer que vecteur AG = 2*vecteur GA'. Qu'en déduit-on pour A, G et A' ?

On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé au deux tiers de la médiane. Plus précisement, si A' est le milieu de [BC] alors on a : vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'
3*vecteur AG = 2*vecteur AA'
3* vecteur AG = 2*vecteur AG + 2*vecteur GA'
vecteur AG = 2 vecteur GA'

Les points A, G et A' sont donc alignés.

b. Démontre que B, G et B' sont alignés.

c. Que représente G pour le triangle ABC ? Justifier.

Le point G représente le centre de gravité du triangle ABC. Pourquoi ?


d. Démontrer que vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'. (penser à utiliser l'égalité vecteur AG = 2*vecteur GA')

On a démontré précedement que A,G et A' étaient alignés.
Donc : vecteur AA' = vecteur AG + vecteur GA'
vecteur AA' = 2 * vecteur GA' + vecteur GA'
vecteur AA' = 3 * vecteur GA'
Et vecteur AG = 2 * vecteur GA
Donc : vecteur AG = 2/3 * vecteur AA'.

2°) Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC et H le point défini par : vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.

a. Démontrer que vecteur AH = 2*vecteur OA'.

2*vecteur OA' = vecteur OC + vecteur CA' + vecteur OB + vecteur BA'
A' est le milieu de [BC] donc CA' et BA' sont opposés donc ils s'annulent.
Donc 2*vecteur OA' = vecteur OC + vecteur OB
vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC
vecteur OH - vecteur OA = vecteur OB + vecteur OC
vecteur AH = vecteur OB + vecteur OC
Or 2*vecteur OA' = vecteur OB + vecteur OC
Donc vecteur AH = 2*vecteur OA'

b. En déduire que H est sur la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

O est l'intersection des médiatrices de chaque côté du triangle ABC. Ainsi OA' est perpendiculaire à BC.
Or on vient de voir que vecteur AH = 2*vecteur OA' donc vecteur AH et vecteur OA sont colinéaires. Donc AH est également perpendiculaire à BC. Donc H est sur la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

c. Démontrer que H est aussi sur la hauteur issue de B.

d. Que représente H pour le triangle ABC ?

H est l'orthocentre du triangle ABC.

3°)
a. Démontrer que vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC = 3*vecteur OG.

vecteur GA = -2*vecteur GA'
vecteur AG = 2*vecteur A'G
vecteur GO + vecteur OA = vecteur A'G + vecteur A'G
vecteur OA = vecteur A'G + vecteur OG + vecteur OG
vecteur OA + 2*vecteur OA' = 3*vecteur OG
2*vecteur OA' = vecteur OB + vecteur OC
Donc 3*vecteur OG = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC or vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC. Donc 3*vecteur OG = vecteur OH.

b. En deduire que O, G et H sont alignés.
H, G et O sont alignés sur la droite (BB') qui est la droite d'Euler car ces points sont l'orthocentre, le centre de gravité

[invite6cf1de63]

b. En déduire que H est sur la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

O est l'intersection des médiatrices de chaque côté du triangle ABC. Ainsi OA' est perpendiculaire à BC.
Or on vient de voir que vecteur AH = 2*vecteur OA' donc vecteur AH et vecteur OA sont colinéaires. Donc AH est également perpendiculaire à BC.

Attention au vocabulaire/notation :
On dit que les vecteurs et sont orthogonaux, ou que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires, mais pas que les vecteurs sont perpendiculaires (un vecteur n'est pas un ensemble de points, ce n'est pas à proprement parler une partie du plan)

Donc 3*vecteur OG = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC or vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC. Donc 3*vecteur OG = vecteur OH.

b. En deduire que O, G et H sont alignés.
H, G et O sont alignés sur la droite (BB') qui est la droite d'Euler car ces points sont l'orthocentre, le centre de gravité

Le but de ce problème est de démontrer l'existence de cette droite d'Euler. Il faut donc employer une autre justification (la colinéarité des vecteurs...).

[invite427a7819]

Même remarque pour les questions 1a) / 1c) : tu déduis plutôt de la colinéarité de AG et AA' que G appartient à la droite (AA'), médiane issue de A, et que de même elle appartient à la droite (BB'), ce qui en fait le point de concours des médianes (donc le centre de gravité du triangle).