Equation d'une droite

[Tech007]

Bonjour à tous,

On me demande de trouver l'équation d'une droite. Moi qui n'est jamais fait ça et même jamais entendu parler, je suis perdu.

J'ai une droite bien droite

J'ai en abscisse une échelle de pression et en ordonnée une intensité. J'aimerais savoir comment retrouver une pression en mesurant mon intensité et ceci grâce à l'équation de la droite.

J'espère que mon problème est clair.

Merci à vous,
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[zyket]

Bonjour,

un petit dessin valant mieux que de long discours, je vais te poste prochainement un schéma.

A tout de suite

[Tech007]

Merci bien.

[zyket]

En pièce jointe la représentation d'une droite dans un repère avec en abscisse des intensités allant de 0 à 5 et en ordonnées des pressions allant de 0 à 4.

Comment lire cette droite : quand l'intensité vaut 1, on suit le segment vertical en pointillé partant de l'abscisse 1. Ce segment vient couper la droite oblique (qui représente la variation de la pression en fonction de l'intensité) de ce point on suit le segment horizontal en pointillés jusqu'à l'axe des ordonnées. Ce segment horizontal coupe l'axe des ordonnées à une pression de 1,5.

Peux-tu me dire à quelle pression on arriverait si on avait une intensité de 4 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

si la validation de la pièce jointe est trop longue, trace sur une feuille quadrillée un repère avec l'axe horizontal des abscisses (l'intensité) numéroté de 0 à 5 et l'axe vertical des ordonnées (la pression) numéroté de 0 à 4. Place le point de coordonnées (0;1) que l'on va noter A et le point de coordonnées (2;2) que l'on va noté B. Trace la droite (AB). Tu viens de faire mon schéma. Peux-tu répondre à ma question , à quelle pression on arriverait si on avait une intensité de 4 ?

[invite51d17075]

bonjour zyket,
j'ai cru lire au début :
pression en abcisses et intensité en ordonnées.
( pour ne pas embrouiller notre ami )
cordialement.

[zyket]

Arg !On ne lit jamais assez bien les énoncés.

[Tech007]

Merci,

J'ai donc fait le schéma avec Intensité en ordonnée et la pression en abscisse.

Avec une intensité de 4, j’obtiens une pression de 3.

[zyket]

Comme l'a fait remarquer anssett je me suis trompé dans les grandeurs à mettre en abscisses et en ordonnées. Et maintenant il devient difficile de savoir de quoi on parle.

Je refais donc un schéma comme il aurait du être depuis le début : la pression en abscisse donc sur l'axe horizontal et l'intensité en ordonnées donc sur l'axe vertical. Les points A(0;1) et B(2;2)

L'intensité est la grandeur que tu connais. Elle est sur l'axe vertical des ordonnées : on trace un segment horizontal à partir de la valeur de l'intensité que tu connais. Ce segment coupe la droite oblique, à cette intersection on trace un segment vertical qui rejoint l'axe horizontal à la valeur de la pression correspondante.

Exemple :
Sur mon schéma pour une intensité de 3, on a une pression de 4

Pour une intensité de 3,5 quelle pression a-t-on ?

[zyket]

Autre question : les pointillés de mon schéma indiquent que pour une intensité de ? on a une pression de ?

[Tech007]

En fait je me suis trompé dans mon positionnement du (0;1) je pense. J'attends de voir la pièce jointe.

[zyket]

Peut-être bien.

Quand on écrit les coordonnées en ligne de cette façon (0;1). Le premier nombre, celui à gauche dans la parenthèse, indique la valeur en abscisse sur l'axe horizontal, le deuxième nombre, celui à droite dans la parenthèse, indique la valeur en ordonnées sur l'axe vertical.

[Tech007]

Donc en refaisant j'ai bien pour I=3 et P=4

Pour I=3.5, j'ai P=5.

Maintenant comment retrouver mon équation que je peux intégrer dans mon classeur Excel ?

[zyket]

En avant pour la mise en équation.

dans un repère une droite à toujours une équation du type , où représente les ordonnées des points de la droite et les abscisses des points de la droite, est un nombre réel constant et aussi.

Dans ton cas l'intensité est en ordonnée, on va noter I les valeurs de cette intensité (I correspond donc au y de notre formule générale ci-dessus )
La pression est en abscisse, on va noter P les valeurs de cette pression (P correspond au de notre formule )

Puisque l'on a une droite son équation peut donc écrire , les nombres et étant à trouver. Ce que l'on va faire en étudiant la droite.

La droite coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse donc si je remplace par dans mon équation on obtient ce qui donne . Ce qui veut dire que le point d'intersection entre ma droite et l'axe des ordonnées, on dit le point à l'origine à pour coordonnées (0,b)

Dans notre dernier schéma peux tu me lire les coordonnées de ce point à l'origine (l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées) ?

[Tech007]

Ok merci pour les explications. Je vais me pencher dessus demain soir après mes cours car j'ai un peux de temps pour faire mes deux courbes.

[Tech007]

Me revoilà,

Le point d'intersection est (1,1.5)

[zyket]

Non, le point d'intersection de la droite avec l'axe vertical des ordonnées n'a pas pour coordonnées(1;1.5).

Ce point est sur l'axe des ordonnées, donc forcément ces coordonnées seront du type (0;"quelquechose"). En effet, lorsque l'on part de n'importe quel point de l'axe vertical et que l'on descend verticalement jusqu'à l'axe horizontal des abscisses on tombe sur la valeur 0 de l'axe des abscisses. Et le "quelquechose" est la valeur lue sur l'axe vertical des ordonnées. Donc ici notre point d'intersection a pour coordonnées en abscisse 0 et en ordonnée 1 que l'on écrit (0;1)

[zyket]

Le point d'intersection est en rouge sur le schéma en pièce jointe

[Tech007]

Ok d'accord j'ai compris.

[zyket]

Parfait. Revenons à l'équation de notre droite. On a vu qu'elle est du type et que est l'ordonnée du point à l'origine.

Dans notre cas on a vu que notre point à l'origine, le point d'intersection entre la droite et l'axe vertical, avait pour coordonnées (0;1) donc son ordonnée est 1. D'où le de notre équation est

On a donc dans notre exemple l'équation de la droite qui sera du type .

Il ne reste plus qu'à déterminer le nombre .( Pour information ce nombre s'appelle le coefficient directeur de la droite, il nous renseigne sur la pente de la droite. Plus est grand plus la droite est penchée et se rapproche d'une verticale, plus se rapproche de 0 plus la droite se rapproche de d'une horizontale)
Une façon de trouver ce nombre (ce coefficient directeur) en lisant la droite est de partir du point à l'origine, dans notre cas le point rouge de coordonnées (0;1) de tracer un segment horizontal de longueur 1 unité d'abscisse (en violet sur le schéma), de rejoindre par un segment vertical (en vert) la droite et de mesurer en unité d'ordonnée la longueur de ce segment vertical.

Quelle est la longueur de mon segment vertical vert ?

[Tech007]

Déjà les explications sont très claires. Merci.

Ensuite je dis 0.5

[zyket]

Parfait, ce 0,5 correspond au de l'équation de la droite

donc notre droite a pour équation

C'est fini.

En conclusion et pour résumer tout cela.
Quand on a une droite tracée sur un graphe, l'ordonnée du point à l'origine et la pente de la droite permettent de trouver l'équation de la droite. Une droite a toujours une équation du type ( placé sur l'axe des ordonnées et placé sur l'axe des abscisses)
est l'ordonnée du point à l'origine
est le coefficient directeur de la droite

Quelques petites remarques :

Cette équation est intéressante pour, par exemple dans notre cas, répondre à la question : quelle est la pression correspondant à une intensité de 4 ?
Sur notre schéma on voit qu'à partir de la valeur 4 sur l'axe des ordonnées vertical si on trace un segment horizontal celui ci ne pourra pas aller couper la droite : notre schéma est trop petit. Notre schéma ne nous permet pas de répondre à cette question. Bien qu'on puisse en avoir une vague idée : on sait que la pression sera supérieure à 5.
L'équation va nous permettre d'y répondre. On cherche donc la pression, P, pour laquelle, l'intensité I=4. En remplaçant le I par 4 dans l'équation de notre droite on a . Ceci est une équation avec une inconnue donc avec à priori une solution. Peux-tu résoudre cette équation ?

[Tech007]

Merci. L'équation sera alors du type

Donc

[Tech007]

On m'a aussi vite parlé de trouvé la pente a en prenant 2 points sur l'ordonnée, puis tracer les droites qui coupe la droite et trouvé les 2 points équivalents sur l’abscisse.

Puis on calcul a en faisant

[zyket]

Oui pour le premier post (qui est bien plus grand que 5 comme on si attendait d'après le schéma)

Pas tout à fait pour le deuxième post.
C'est l'inverse.
Dans l'équation , .
Un moyen de se rappeler le sens de ce rapport est de faire ce que l'on appelle une analyse dimensionnelle. et sont les valeurs généralement de mesures exprimées dans une certaine unité. Par exemple dans notre cas est la valeur de la mesure d'une intensité donc à gauche de l'égalité on a une intensité, . Puisque on a le signe égal, cela veut dire qu'à droite on a aussi une intensité. L'expression représente donc une intensité. Pour que cette expression soit en unité d'intensité, il faut que soit en unité d'intensité et que soit aussi en unité d'intensité. Or est en unité de pression, donc doit être en pour qu'en multipliant par on obtienne une intensité (les unités de pression se simplifient). L'intensité est lue sur l'axe vertical des ordonnées, les , la pression est lue sur l'axe horizontal des abscisse, les , donc

[Tech007]

OK merci bien. Je vais maintenant faire mes 2 courbes et voir ce que celà donne.