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[TS] transformation dans C



  1. #1
    Jon83

    [TS] transformation dans C


    ------

    Bonsoir à tous!

    On pose pour tout z différent de i:




    On demande les point invariants de la transformation: pour cela on pourra calculer (1+i)²-2i(1+i)-2

    Pour trouver les point invariants, j'ai résolu f(z)=z et j'ai trouvé les deux points!!!
    Je ne comprends pas pourquoi on demande de calculer (1+i)²-2i(1+i)-2 ???

    Une idée?

    -----

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  3. #2
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Les points invariants sont les points d'affixe z tels que :


    Est-ce plus clair ?

    PS : quels points as tu trouvé ?

  4. #3
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    OK, merci pour ta réponse! C'est ce que j'ai fait! J'ai trouvé





    Ce que je ne comprends pas c'est la raison pour laquelle l'énoncé demande de calculer (1+i)²-2i(1+i)-2 ???

  5. #4
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    C'est faux.
    Comment as tu trouvé ces valeurs ?
    Au fait :

    Tu vois le lien avec (1+i)²-2i(1+i)-2 ?
    Et d'ailleurs, as tu calculé (1+i)²-2i(1+i)-2 ? Essaye.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par lucas.gautheron Voir le message
    C'est faux.
    Comment as tu trouvé ces valeurs ?
    Je n'ai rien inventé: c'est dans l'énoncé de l'épreuve (Math Sciences Po Lille 2005) ...!!!

  8. #6
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Calcule par exemple, et donne nous le résultat...
    Calcule également (1+i)²-2i(1+i)-2, et donne nous aussi le résultat.

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  10. #7
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Bonjour!

    J'ai fait une erreur grossière dans le calcul de mes racines
    Il fallait trouver: z(A)=-i+i et z(B)=1+i

    Et là tout s'explique!!!!!

    Merci!

  11. #8
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Dans la dernière question, on me demande de montrer que pour tout point M d'affixe réelle, M' appartient au cercle de centre H d'affixe 3i/2 et de rayon 1/2.

    Pour cela, j'ai calculé f(x):



    Comment démontrer que c'est le cercle demandé?

  12. #9
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Qu'est-ce qu'implique que M' appartienne au cercle de centre H en ce qui concerne la distance M'H ?
    Exprime et cette distance en fonction de f(z).

  13. #10
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    HM'=cte --> |z(M')-z(H)|=Cte
    Mais à priori, je ne connais pas H?
    Je cherche à retrouver les paramètres du cercle à partir du z(M')=f(x) calculé...

  14. #11
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Il suffit de prouver que la distance M'H est une constante (1/2)
    Tu connais H, tu peux trouver l'expression de M' (c'est fait) et calculer la distance M'H.

  15. #12
    PlaneteF

    Re : [TS] transformation dans C

    Une autre façon de présenter la démarche que te donne lucas.gautheron (mais c'est exactement la même démarche) :

    Un cercle de centre et de rayon a pour équation

    Si , il faut donc montrer que X et Y vérifient l'équation ci-dessus dans le cas où z est réel ...

    ... Et puisque tu connais déjà X et Y (en fonction de x) dans le cas où z est réel, ... tu peux immédiatement les remplacer dans l'équation du cercle pour montrer que le point appartient bien à ce cercle !
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/02/2012 à 15h26.

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  17. #13
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Une autre façon de présenter la démarche que te donne lucas.gautheron (mais c'est exactement la même démarche) :

    Un cercle de centre et de rayon a pour équation

    Si , il faut donc montrer que X et Y vérifient l'équation ci-dessus dans le cas où z est réel ...

    ... Et puisque tu connais déjà X et Y (en fonction de x) dans le cas où z est réel, ... tu peux immédiatement les remplacer dans l'équation du cercle pour montrer que le point appartient bien à ce cercle !
    OK, cette approche me semble bien dans l'esprit de l'énoncé.
    J'ai fait les calculs, un peu lourds, mais on aboutit!

    Merci à tous pour votre aide sur cette question!

    Pour la dernière question, on demande de montrer que [f(z)-i](z-i)=1, ce qui est facile.
    Par contre on demande d'utiliser cette relation pour construire sur une figure l'image M' de M d'affixe réelle quelconque ?

  18. #14
    sammy93

    Re : [TS] transformation dans C

    Salut.
    Si A,M,M' sont respectivement les points d'affixes i,z, z' on a et
    .
    Sauf erreur.

  19. #15
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par sammy93 Voir le message
    Salut.
    Si A,M,M' sont respectivement les points d'affixes i,z, z' on a et
    .
    Sauf erreur.
    Je dirais plutôt:

    .

    Donc, je propose la construction suivante:
    le point M étant donné sur (Ox), on trace son symétrique Ms par rapport à 0, et la droite (MsI) coupe le cercle C(H; 3i/2) au point M'

    J'ai fait la construction avec Géogébra, mais le fichier n'est pas accepté en pièce jointe...

  20. #16
    sammy93

    Re : [TS] transformation dans C

    Salut Jon.
    Pourquoi la différence des arguments alors qu'on a un produit donc somme des arguments ?
    Je te propose la construction suivante:
    M est sur l'axe des réels ,on construit la demi-droite ]AM) et sa symétrique par rapport à la droite d'équation
    y=1.Cette dernière coupe le dit cercle en un seul point M'(différent de A) image de M par f.
    Sauf erreur de ma part.

  21. #17
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message

    J'ai fait la construction avec Géogébra, mais le fichier n'est pas accepté en pièce jointe...
    Bonsoir,

    Peut être essayais tu d'envoyer le fichier au format geogebra ?
    Dans ce cas il est possible que le système de fichier joint fonctionne avec une liste blanche de formats autorisés et de toute façon tout le monde n'a pas géogebra chez lui.
    Le mieux est d'exporter la figure au format png (fichier > exporter > graphique en tant qu'image (PNG) ou bien de faire une capture d'écran et d'envoyer cette image sur le forum.

    A+,

  22. #18
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par sammy93 Voir le message
    Salut Jon.
    Pourquoi la différence des arguments alors qu'on a un produit donc somme des arguments ?
    Je te propose la construction suivante:
    Tu as raison, je me suis complètement fourvoyé en écrivant une horreur:
    J'ai besoin de vacances!!!

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  24. #19
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Citation Envoyé par lucas.gautheron Voir le message
    faire une capture d'écran et d'envoyer cette image sur le forum.
    A+,
    Voici la capture d'écran de la figure!

    NB: Géogébra V4 est en téléchargement libre
    Images attachées Images attachées  

  25. #20
    lucas.gautheron

    Re : [TS] transformation dans C

    Oui, géogebra est en téléchargement libre, mais tout le monde n'a pas envie d'encombrer son disque dur pour aider 1 personne et ne plus se servir du logiciel après

  26. #21
    Jon83

    Re : [TS] transformation dans C

    Tu as raison!

    En tout cas, merci à tous pour votre aide!
    A+

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