Factorielle

[invite6ffc6285]

Bonjour à tous,

Voilà, je suis en terminale Spé Math et j'ai un petit problème dans un exercice pourtant très court.

Voilà l'(e court) énoncé :

On pose pour tout n entier naturel, u_n = \Sigma (k*k!) = 0*0!+1*1!+...+n*n!

1) Calculer U₀ U₁ U₂ et enfin U₃ .
Déjà, je ne vois pas comment faire si l'on a pas l'expression de la suite.
2) Simplifier, pour tout n de N, U_n+1 - U_n.
3) En déduire le sens de variation de la suite (U_n).
4) Démontrer que : quel que soit l'entier naturel n, U_n = (n+1)!-1.

Voilà. J'ai essayé de rassembler mes connaissances ,par exemples le fait que (n+1)! = (n+1)*n!, de calculer la somme des n termes .
Mais je ne vois pas comment m'en sortir.
Merci de votre aide.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Déjà, je ne vois pas comment faire si l'on a pas l'expression de la suite.

Hein ? Comment çà ... Ben si, tu l'as bien l'expression de la suite, tu viens toi-même de la donner !

Par définition (celle que tu viens de donner) :

U₀ = 0.0!
U₁ = 0.0! + 1.1! = U₀ + 1.1!
U₂ = 0.0! + 1.1! + 2.2! = U₁ + 2.2!

etc ...

2) Simplifier, pour tout n de N, U_n+1 - U_n.

Là encore, en utilisant la définition le résultat est immédiat.

3) En déduire le sens de variation de la suite (U_n).

Se déduit immédiatement de la question précédente.

4) Démontrer que : quel que soit l'entier naturel n, U_n = (n+1)!-1.

Démonstration rapide et simple par récurrence.