Probleme sur une preuve (fonction en dessus/dessous d'une autre)

[invite0cabe9df]

Bonjour à tous les membres,
Je suis en terminale S et je suis bloqué sur la fin d'un exo de maths qui me demande de prouver que :

Si x compris dans ] 3 ; +oo [ , g(x) < f(x) < h(x)
Si x compris dans ] -oo ; 3 [ , h(x) < f(x) < g(x)

Avec :
f(x) = (3-cosx) / (x-3)
g(x) = 1 / (x-3)
h(x) = 5 / (x-3)

Le cosinus bloque toutes mes tentatives. Merci à vous
-----

[gg0]

Bonjour.

"Le cosinus bloque toutes mes tentatives". pourtant c'est la clef ! Quelles sont les valeurs possibles pour un cos.

Je suppose que l'énoncé véritable est
Si x compris dans ] 3 ; +oo [ ,
Si x compris dans ] -oo ; 3 [ ,

Sinon, c'est faux.

Cordialement.

[invite0cabe9df]

Pour ce qui est de l'énoncé, je bloquais dans mes tentatives également à cause du strictement inférieur/supérieur.
Pour répondre à ta question (">= correspond" à supérieur ou égal et "<=" inférieur ou égal) :
-1<=cosx<=1

De plus :
1>=-cosx>=-1
4>=3-cosx>=2
4/-3<=(3-cosx)/-3<=2/-3

Ensuite je suppose qu'il y a deux cas (pour reconstruire f(x)) :
- en divisant par x positif, on n'inverse pas le sens de l'égalité
- en divisant par x négatif, on inverse le sens de l'égalité

Le probleme est que cela ne me mène à rien, et que cette méthode des deux cas me semble louche ;D

[PlaneteF]

Bonsoir,

4>=3-cosx>=2

Jusque là d'accord ...

4/-3<=(3-cosx)/-3<=2/-3

Ensuite je suppose qu'il y a deux cas (pour reconstruire f(x)) :
- en divisant par x positif, on n'inverse pas le sens de l'égalité
- en divisant par x négatif, on inverse le sens de l'égalité

A partir de là tu perds le fil de l'énoncé. Ce n'est pas par qu'il faut diviser les inégalités, mais par , ... et donc ce n'est pas le signe de sur lequel il faut se poser des questions mais sur le signe de --> Direction dans laquelle te guide d'ailleurs l'énoncé puisqu'il te demande d'étudier justement les 2 cas correspondants.

(...) et que cette méthode des deux cas me semble louche ;D

D'une manière la plus générale qui soit, envisager différents cas pour pouvoir faire une division avec une quantité qui peut être positive et négative, n'est non seulement pas "louche" du tout, mais bien au contraire, sain et indispensable !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0cabe9df]

Super ! J'étais passé par cette hypothèse de considérer x-3 au lieu de x, ce qui me semblait plus logique. Mais je ne comprends pas pourquoi cela ne marche pas lorsque qu'on fractionne le raisonnement en divisant par -3 puis par x.

On aurait donc :
- pour x-3>=0 (j'hésite avec l'inégalité stricte) :
4/(x-3)>=(3-cosx)/(x-3)>=2/(x-3)

- pour x-3<=0 (j'hésite toujours)
4/(x-3)<=(3-cosx)/(x-3)<=2/(x-3)

[PlaneteF]

Mais je ne comprends pas pourquoi cela ne marche pas lorsque qu'on fractionne le raisonnement en divisant par -3 puis par x.

Attention, ce raisonnement est totalement absurde --> Tu es en train de dire que pour diviser par , on diviserait d'abord par , puis ensuite par ...

Ce qui donnerait alors , ce qui est évidemment faux, ...

Quand tu divises par , tu ne vas pas diviser d'abord par puis ensuite par sous pretexte que

[invite0cabe9df]

Je pense avoir trouvé.
On sait que :
g(x)<=2/(x-3) et 4/(x-3)<=h(x)

D'une part, si x-3>=0 (soit x>=3), on a : 2/(x-3)<=f(x)<=4/(x-3)
Donc g(x)<= [2/(x-3)<=] f(x)<=h(x) (pour x>=3)

D'autre part, si x-3<=0 (soit x<=3), on a : 4/(x-3)<=g(x)<=2/(x-3)
Donc 4/(x-3)<=h(x)<=... La ca coince Car 4/(x-3) est "en dessous de h(x), mais h(x) n'est donc pas forcement en dessous de g(x)

En tout cas, un grand merci pour toute l'aide que tu m'as apportée jusqu'à maintenant.

[invite0cabe9df]

Attention, ce raisonnement est totalement absurde --> Tu es en train de dire que pour diviser par , on diviserait d'abord par , puis ensuite par ...

Ce qui donnerait alors , ce qui est évidemment faux, ...

Quand tu divises par , tu ne vas pas diviser d'abord par puis ensuite par sous pretexte que

Quelle horreur !!!! Comment ais-je pu écrire ca...

[gg0]

Bonsoir.

e pense avoir trouvé.
On sait que :
g(x)<=2/(x-3) et 4/(x-3)<=h(x)

Tu parles de quoi, ici ?

On aurait donc :
- pour x-3>=0 (j'hésite avec l'inégalité stricte) :
4/(x-3)>=(3-cosx)/(x-3)>=2/(x-3)

- pour x-3<=0 (j'hésite toujours)
4/(x-3)<=(3-cosx)/(x-3)<=2/(x-3)

Si tu peux justifier pourquoi tu écris cela (c'est une règle de fin de collège), tu sauras en même temps quel signe il faut mettre. Mais plus simplement, si x est tel qu'il y avait égalité avant de diviser par x-3, que se passe-t-il après ???


Avec ça, tu peux répondre à la question initiale !!

Cordialement.

[invite0cabe9df]

Tu parles de quoi, ici ?

J'explique ca car g(x)=1/(x-3). Donc g(x)<=2/(x-3). Je pensais que c'était une étape du raisonnement. Pareil pour h(x).

Si tu peux justifier pourquoi tu écris cela

En fin de collège, notre prof nous a dit que cela se nommait la reconstruction. Mais je ne vois pas en quoi ce nom justifierait mes calculs. Je ne vois pas ce qui tu attends de moi la...

si x est tel qu'il y avait égalité avant de diviser par x-3, que se passe-t-il après ???

Je ne vois pas trop non plus ce que tu veux que j'en dise. Pour moi, cela correspond aux règles des inéquations : si l'on divise par le même nombre positif (respectivement négatif), on ne change pas (respectivement change) le sens de l'inégalité.

Avec ça, tu peux répondre à la question initiale !!

Désolé, mais je ne vois toujours pas. Ce n'est pas faute de ne pas avoir réfléchi au problème, bien qu'il semble simplissime pour ta part.

[gg0]

si l'on divise par le même nombre positif (respectivement négatif), on ne change pas (respectivement change) le sens de l'inégalité.

Voila le théorème qui justifie. Est-ce qu'il dit qu'on change le signe d'inégalité (> par >= par exemple) ?

Sinon, je réalise que j'avais lu trop vite l'énoncé (*). Tu as prouvé 4>=3-cosx>=2, tu peux en déduire 1<3-cos(x)<5 puis appliquer la règle ci-dessus directement.

Désolé d'avoir été à côté de la plaque. dans cet énoncé, le passage de > à >= ne s'impose pas.

Cordialement.

(*) j'étais dans l'idée d'un encadrement de 3-2cos(x). Qui expliquait l'arrivée de 1 et 5 à la place de 2 et 4

[invite0cabe9df]

Tu n'as pas à t'excuser ! Et merci pour l'astuce

Tu as prouvé 4>=3-cosx>=2, tu peux en déduire 1<3-cos(x)<5

[invite0cabe9df]

J'en arrive donc à la conclusion que :
- pour x>3 ; g(x)<f(x)<h(x)
- pour x<3 ; h(x)<f(x)<g(x)

Donc :
- pour x>3 ; lim(+oo) de g(x) < lim(+oo) de f(x) < lim(+oo) de h(x)
- pour x<3 ; lim(-oo) de h(x)) < lim(-oo) de f(x) < lim(-oo) de g(x)

Je pourrai utiliser le théorème des gendarmes mais la limite de h(x) et g(x) en + et -oo est 0.
Or 0<0<0 est faux... Donc l'erreur de l'énoncé vient de la ou je me suis encore planté ? :/

[PlaneteF]

J'en arrive donc à la conclusion que :
- pour x>3 ; g(x)<f(x)<h(x)
- pour x<3 ; h(x)<f(x)<g(x)

Donc :
- pour x>3 ; lim(+oo) de g(x) < lim(+oo) de f(x) < lim(+oo) de h(x)
- pour x<3 ; lim(-oo) de h(x)) < lim(-oo) de f(x) < lim(-oo) de g(x)

Ce "donc" est incorrect, car tu ne peux pas passer à la limite sur des inégalités strictes.

Exemple : Pour , on a bien évidemment ; maintenant si l'on passe à la limite en sur cette inégalité stricte, cela donnerait donc : ! ... Absurde !

Donc tu utilises un théorème mal formulé !

[invite0cabe9df]

Et si je passe en limite en mettant des inégalités larges ? Ca marcherait ou c'est trop beau pour être aussi simple ?

[PlaneteF]

Et si je passe en limite en mettant des inégalités larges ?

Ca marcherait ou c'est trop beau pour être aussi simple ?

Et si tu te posais les bonnes questions

Une bonne question ici serait la suivante : Si , a t-on le droit décrire ?