Ln x, avec x toujours positif?

[invite930429c6]

Bonjour, je suis en train de faire une étude de fonction de f(x) = x² * ln x
je me demandais si il y avait un domaine particulier de définition pour ln x, car quand je tape sur ma calculatrice"ln -5" elle affiche Math ERROR. Y a-t-il d'autres exception et pourquoi un ln d'un nombre négatif est impossible?

Merci d'avance )
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[Seirios]

Bonjour,

Une manière de définir le logarithme est de la voir comme la réciproque de l'exponentielle. Or l'exponentielle est une bijection de dans (puisque continue et strictement croissante) ; par conséquent, le logarithme est nécessairement une bijection de dans , en particulier, il n'est défini que sur les réels strictement positifs.

[invite930429c6]

Merci pour votre réponse,

Désolée si mes questions peuvent paraitre idiote, mais qu'est-ce qu'est une bijection? et que représente R*+? Le domaine de la fonction sera bien R*+ vu qu'elle est continue et croissante? Si le ln -x est impossible cela veut dire que je ne peux pas faire la parité avec f(-x)?

[Seirios]

La notation correspond à (les réels positifs non nuls).

Une fonction est dite bijective si tout élément de B possède exactement un antécédent dans A. En particulier, une telle fonction admet une réciproque, c'est-à-dire une fonction telle que pour tout et pour tout .

Maintenant, comme le logarithme n'est défini que sur les réels strictement positifs, cela n'a bien sûr pas de sens de parler de parité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite930429c6]

Merci beaucoup pour la réponse ) ! Je pense avoir tout compris.

[shokin]

Tu peux aussi penser à la définition du logarithme.

Le logarithme d'un nombre a en base b est l'exposant auquel je dois élever la base a pour obtenir b.

Est-ce qu'un nombre positif élevé à un exposant réel peut donner un nombre strictement négatif ? Donc est-ce que l'objet d'un logarithme à base réelle positive peut être un réel strictement négatif ?

[invite930429c6]

Je n'y avais vraiment pas pensé ^^

J'ai un autre petit problème. J'ai dérivé la fonction j'obtiens: 2x * lnx +x,
je mets en évidence le x pour pouvoir l'annuler: x(2ln(x) + 1) = 0
Donc soit x = 0
soit 2ln(x)+1 = 0
Mais x ne peut être égal à zéro car ln 0 n'existe pas... ://

[jamo]

Bonjour
j'ai l'impression que ta dérivée est fausse ( de tête )
faudra utiliser (uv)'=u'v+uv' et (Log x)'=1/x avec x>0

[invite930429c6]

eh bien :

u'v + uv'

= (x²)' * ln x +x² * (ln x)'
= 2x * lnx + x² * 1/x
= 2x * lnx + x

Je ne vois pas où est mon erreur??

[jamo]

désolé , je croyais que la fonction que tu dérivais était 2x * lnx +x , pas d'erreur pour f(x) au début du Thread . tu remarqueras que Df=]0,+infini[.
f(x) peut être prolongeable par continuité en zéro , tu sais que lim (xlogx) ->0 qd x->0+

[invite930429c6]

Comme 0 est exclu, je dois juste rejeter cette solution?

[jamo]

elle n'est pas définie en 0+ ; mais elle admet une limite à droite de zéro comme je l'ai écrit dans mon message précédent . je ne sais pas comment t'expliquer
c'est "comme" si elle était définie sur [0;+infini [ , je dirai non , faut pas exclure le 0 de la dérivée mais attends confirmation , j'ai un doute

[jamo]

tu peux continuer ton exo , laisse de coté le 0 pour le moment

[invite930429c6]

Je n'avais pas vu votre edit. J'ai toutefois du mal à comprendre... :/ c'est "comme" si elle était définie sur [0;+infini [, ça veut dire que je dois vraiment faire comme si c'était le cas? Càd que c'est une solution? C'est un peu confus. :s

[jamo]

le domaine de définition est bien Df=]0,+infini[. , ne cherche pas à comprendre pour le moment continue , on reviendra sur ce point plus tard .

[Seirios]

Tu peux aussi penser à la définition du logarithme.

Le logarithme d'un nombre a en base b est l'exposant auquel je dois élever la base a pour obtenir b.

Est-ce qu'un nombre positif élevé à un exposant réel peut donner un nombre strictement négatif ? Donc est-ce que l'objet d'un logarithme à base réelle positive peut être un réel strictement négatif ?

Cela dit, comment définir une puissance réelle sans utiliser le logarithme ?

[jamo]

Bonjour Seirios
merci de confirmer ou non ma bourde du prolongement par continuité de f(x)

[Seirios]

Pour moi il n'y a pas de problème, f se prolonge par continuité en 0 (par 0) ; f se prolonge même en une fonction sur (avec une dérivée nulle en 0).

Après, cela dépend de ce que l'on cherche, si l'on s'en tient à f, alors la solution x=0 est à exclure.

[jamo]

Thanks Man

[invite930429c6]

Voila j'ai tout fait:

y= x² * ln(x)


Dom f= R*+
parité: /

AV : est exclu ???

AH :

On prend bien le plus grand exposant c'est cela?

Pas d'asymptote horizontale mais -oo est à exclure aussi?

AO : y = mx+p

m =

=
mais en -oo elle n'est pas définie...

y' = 2x * ln(x) +x
y'= x(2*ln(x) +1)

x = 0
2ln (x) +1 = 0


2ln (x) +1 = 0
= ln (x) = -1/2
= x = e^-1/2

(log a X = log a Y ; Y=X)

y'' = 2ln(x) + 3 = 0

ln(x) = -2/3
x = e^-2/3

f(0) = 0?

ln (0) est impossible :/

f(e^-1/2) = -0.18
f(e^-3/2) = -0.07

Et puis le tableau de valeur, je mets juste la dernière ligne:

Avant zéro: hors du dom de déf.
Zéro : racine de y' Max ??
entre 0 et e^-3/2 : Descends sur la courbe négative
e^-3/2 : PI
entre e^-3/2 et e^-1/2 : descend sur la courbe positive
e^-1/2 : Min.
après e^-1/2: monte sur la courbe positive

[shokin]

Cela dit, comment définir une puissance réelle sans utiliser le logarithme ?

Pour ma part, je résume souvent ainsi :

avec :

et

Il me semble qu'on apprend ce qu'est la puissance avant d'apprendre ce qu'est le logarithme, la puissance comme résumé du produit de facteurs identiques.

[invite930429c6]

J'ai bien compris pourquoi ça ne pouvais être négatif, mais là en pratique j'ai un peu de mal, surtout au niveau des asymptotes... :/ Est ce que ce que j'ai fait est correct?

[shokin]

Voilà, ta fonction n'est ni paire ni impaire. Tu as trouvé son domaine définition.

AV : est exclu ???

Oui, puisqu'il ne fait pas partie du domaine de définition. Par contre, comme l'a dit jamo, tu dois chercher la limite lorsque x tend vers 0 depuis la droite (en étant supérieur à 0).

AH :

On prend bien le plus grand exposant c'est cela?

De toute façon, tant que tendent vers quand tend vers

Donc la fonction va tendre vers +infini quand x tend vers +infini.

Idem pour

y' = 2x * ln(x) +x
y'= x(2*ln(x) +1)

x = 0
2ln (x) +1 = 0

2ln (x) +1 = 0
= ln (x) = -1/2
= x = e^-1/2

C'est juste.

(log a X = log a Y ; Y=X)

y'' = 2ln(x) + 3 = 0

ln(x) = -2/3
x = e^-2/3

Ce serait plutôt Mais je vois que tu as utilisé le bon résultat par la suite. C'était donc une faute machinale.

f(0) = 0?

ln (0) est impossible :/

0 n'est pas dans le domaine de définition, cela dit, comme tu devrais avoir trouvé que ta fonction tend vers 0 quand x tend vers 0 (avec x plus grand que 0), tu peux placer un point vide sur le point origine.

Pour le reste, c'est tout bon.

[Seirios]

Il me semble qu'on apprend ce qu'est la puissance avant d'apprendre ce qu'est le logarithme, la puissance comme résumé du produit de facteurs identiques.

Pour les puissances entières, oui, mais pas pour des puissances réelles.

[invite930429c6]

Merci Shokin pour la correction et les explications, je verrai demain pour l'asymptote vertical ) et je vous tiendrai au courant!