soit f la fonction définie sur l'intervalle [-1;+infinie[ par f(x)=e^(-x) \sqrt{1+x}
1) ROC
a) on suppose connu le résultat: lim \frac{e^x}{x}=+infinie quand x tend vers +infinie. Démontrer que lim xe^(-x)=0 quand x tend vers +infinie
b) on suppose connu le résultat: pour tout réel x, pour tout entier relatif n, (e^x)^n = e^(nx)
Démontrer que e^(1/2)= \sqrt{e}
2) étudier la limite de f en +infinie (utiliser le résultat du 1)a))
3) montrer que f est dérivable sur [-1;+infinie[ et calculer f'(x)
4) étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f.
5) montrer que f admet un maximum égal à \sqrt {\frac{e}{2}} atteind pour une valeur de x que l'on précisera
Résultat:
1) a) lim \frac{e^x}{x}=+infinie quand x tend vers +infinie
Démontrons que lim xe^(-x)=0 quand x tend vers =infinie
Posons -x=X (x=-X)
xe^(-x) = -Xe^x = \frac{-X}{e^(-x)}
lorsque x tend vers +infinie, X tend vers +infinie
lim xe^(-x) = lim \frac{-X}{e^(-x)} quand x tend vers +infinie
or lim \frac{-X}{e^(-x)}=-infinie quend x tend vers +infinie
et donc lim \frac{e^x}{X}=0 quend x tend vers +infinie
d'où lim xe^(-x)=0 quand x tend vers +infinie
voila la suite je n'y arrive pas merci de m'aider svp !!
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avec( 1+x )>0 et (u/v)'=( u'v-uv')/v²