Resoudre l'équation

invite20987 · 19/02/2013, 17h37

Bonjour a tous vla on me demande de résoudre cette équation (z-2)^5=1
j'ai fait (z-2)^5-1^5=0 j'ai essayé avec un changement de variable mais j'arrive pas

si vous pouvez m'aidez svp ça serait très aimable a vous merciii

**danyvio** · 19/02/2013, 18h49

En cours, as-tu vu, ou plutôt le prof a t-il parlé des racines nièmes de 1 ?

invite20987 · 19/02/2013, 18h58

ouii on a fait les racines n ieme mais je voit tjr pas comment je px la résoudre

**gg0** · 19/02/2013, 19h49

z-2 est une racine cinquième de l'unité ....

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**danyvio** · 20/02/2013, 17h04

Rien ne t'empêche de développer (z-2)⁵, et de tenir compte que la partie réelle du résultat = 1 et la partie imaginaire = 0 après avoir posé z=ax+b
PS C'est lourd je ne suis pas certain que ce soit la meilleure solution..

invite20987 · 20/02/2013, 17h11

bsr ok je vais essayé votre méthode c'est très gentil a vous merci

**pallas** · 20/02/2013, 17h53

il faut utiliser simplement les 5 racines cinqqieme de l'unité donnees par une formule de cours !!
alors tu dis que les cinq solutions sont celles ci + 2 !!

inviteaf48d29f · 20/02/2013, 18h17

Envoyé par danyvio

Rien ne t'empêche de développer (z-2)⁵, et de tenir compte que la partie réelle du résultat = 1 et la partie imaginaire = 0 après avoir posé z=ax+b
PS C'est lourd je ne suis pas certain que ce soit la meilleure solution..

Je suis certains que non ^^.

invite4842e1dc · 21/02/2013, 17h27

Envoyé par nes50712

résoudre l'équation $\text{[math]}$ équation (E)

Bonjour

Voici quelques explications sur la méthode à suivre pour résoudre cette équation

En faisant le changement de variable $\text{[math]}$ l'équation (E) s'écrit $\text{[math]}$ ( équation (E1) )
et donc résoudre l'équation (E1) revient à résoudre l'équation (E)

1)
si tu veux résoudre l'équation (E1) dans $\text{[math]}$ , c'est "très facile"
En effet , la fonction $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ est une une fonction dérivable et qui est strictement croissante de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

ET en appliquant le théorème de la bijection : tu peux conclure que l'équation (E1) n'a qu'une seule solution qui est $\text{[math]}$ (que l'on appelle "solution évidente")

Conclusion : L'équation (E) n'a qu'une seule solution dans $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ c'est à dire $\text{[math]}$

2)
si tu veux résoudre l'équation (E1) dans $\text{[math]}$ , voici la méthode qui permet de calculer les $\text{[math]}$ racines n-ième de l'unité (dans cet exo : $\text{[math]}$ )

Il est également nécessaire de faire le changement de variable $\text{[math]}$ et de poser $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Alors l'équation (E) s'écrit $\text{[math]}$ <==> $\text{[math]}$ ( car $\text{[math]}$ )

ET ce n'est pas " très difficile" de trouver la valeur de $\text{[math]}$ et les 5 valeurs de $\text{[math]}$

L'équation (E) peut s'écrire sous la forme $\text{[math]}$
et tu vas trouver $\text{[math]}$ et 5 valeurs pour $\text{[math]}$ car il y a un modulo $\text{[math]}$ "à gérer" quand tu résous cette équation par cette méthode

ET une fois que tu as trouvé les 5 solutions en $\text{[math]}$ , sous la forme module , argument
alors il suffit d'écrire que $\text{[math]}$ pour trouver les 5 solutions de l'équation (E) (avec $\text{[math]}$ )

Conclusion : L'équation (E) a 5 solutions dans $\text{[math]}$

De plus ces 5 solutions vérifient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (5 $\text{[math]}$
(car l'équation (E) est "à coefficients réels")

invite4842e1dc · 21/02/2013, 17h33

En faisant un dessin , tu vois que
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (les 5 $\text{[math]}$

invite4842e1dc · 21/02/2013, 17h49

Voici le dessin des 3 points dont les affixes vérifient $\text{[math]}$ ( 3 solutions = les 3 racines 3ième de l'unité )

Question : Peux tu faire un dessin des 5 points dont les affixes vérifient l'équation $\text{[math]}$

invite20987 · 23/02/2013, 19h56

merci a vous tous d'avoir prit la peine de lire et de me répandre j'ai bien compris

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