Devoir probabilités

[invitef54081b0]

Bonjour tout le monde !

J'ai un exercice de proba qui me donne un peu de fil à retordre !

L'énoncé est le suivant:
" Un lycée dispose d'un lot de 20 oscilloscopes en mauvais état. A la fin de la journée de TP, la probabilité qu'un oscilloscope soit encore en état de marche est de 0,8. On note X le nombre d'oscilloscopes qui fonctionnent encore à la fin de la journée.

a) Calculer la probabilité des évènements (X=20) et (X=19).
b) Calculer la probabilité que deux au moins des oscilloscopes tombent en panne dans la journée."


Pour la a), j'ai trouvé que P(X=20) = 0.0115 en faisant 0,8^20, mais alors pour P(X=19) et la b), je sèche complètement depuis un bon bout de temps...


Merci à tous pour votre aide ! =)
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[Teddy-mension]

Bonsoir !
Est-ce que la loi binomiale te dit quelque chose ? (En quelle classe es-tu ?)

[invitef54081b0]

Je ne l'ai justement pas encore étudiée, c'est là tout le problème... (je suis en 1ère S et cela fait justement partie des prochains chapitres)

[Teddy-mension]

Ah merde d'accord..
L’évènement (X=19) signifie que 19 oscilloscopes fonctionnent encore à la fin de la journée.. Est-ce qu'on peut pas dire ça autrement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef54081b0]

J'ai effectivement penser à dire que (X=19) signifierait qu'un seul oscilloscope est cassé, mais le problème est que sur un arbre de proba., il n'y aurait pas qu'une seule solution où un seul oscilloscope ne marche plus... ?

[Teddy-mension]

En effet, il n'y a pas qu'une solution.. Par contre, tu connais maintenant la probabilité qu'il n'y en ait aucun qui soit cassé..

[invitef54081b0]

En effet, cette probabilité est de 0.8^20 = 0,0115 mais je ne vois pas en quoi cela nous aide pour la suite ?

(Je suis sûr que le résultat est tout bête mais je sais pas ce que j'ai je bloque complètement...)

[gg0]

Bonsoir.

Tu peux numéroter les oscilloscopes, puis calculer la proba que seul l'oscilloscope 1 soit défecteueux, puis seul le 2, puis ...
la question b est une conséquence immédiate de la a).

Cordialement.

[Elwyr]

Teddy-mension, c'est pas bien de confondre les évènements "un oscilloscope au moins est cassé" et "exactement un oscilloscope est cassé"... Je crois du moins que c'est ce que vous vouliez faire d'après ta remarque.

Enfin, toujours est-il qu'on doit pouvoir s'en tirer sans la loi binomiale pour le cas X = 19... En voyant la chose ainsi : on sait qu'exactement un des oscilloscope est cassé. Ca peut être le premier, ou bien le deuxième, ou bien le troisième... Et en sommant les probabilités de chacun de ces évènements, je présume qu'on doit retomber sur le bon résultat.

Edit : ah, je vois qu'on a répondu avant moi.

[invitef54081b0]

Donc on aurait P(X=19) = 0,8^19 * 20 ? Chaque cas parmi les 20 serait une "représentation" (oui, cela ne veut pas dire grand chose, j'espère que vous me comprendrez !) de chaque oscilloscope ?

Et donc cela ferait P(X=19) = 0,8^19 * 20 = 0,288 ??

[Elwyr]

Eh bien, non. Un évènement dont la probabilité est 0,8^19 est "Les oscilloscopes 2 à 20 sont en bon état, et je ne connais pas l'état du premier". Ce n'est pas tout à fait la même situation : dans notre cas, nous connaîtrions l'état du premier, il serait cassé... Voyez-vous la nuance ?

[Teddy-mension]

Teddy-mension, c'est pas bien de confondre les évènements "un oscilloscope au moins est cassé" et "exactement un oscilloscope est cassé"... Je crois du moins que c'est ce que vous vouliez faire d'après ta remarque.

Je n'ai pas.. confondu ?
L'évènement en question était "19 oscilloscopes sont dans un bon état". C'est exactement le même que l'évènement "1 oscilloscope est cassé", ou je me trompe ?
(Notez au passage que je n'ai jamais dit "Un oscilloscope au moins est cassé", qui serait, lui, le même que "19 oscilloscopes sont, tout au plus, dans un bon état", enfin si j'ai bien compris..)

Et donc cela ferait P(X=19) = 0,8^19 * 20 = 0,288 ??

Il faut pas oublier que, si 19 oscilloscopes sont en bon état, il y en a un qui est bel et bien cassé.. Votre calcul me parait donc faux..

EDIT: Je me suis fait devancé..

[Elwyr]

En effet, il n'y a pas qu'une solution.. Par contre, tu connais maintenant la probabilité qu'il n'y en ait aucun qui soit cassé..

Je parlais de cette remarque. Il me semble qu'en l'occurence, elle ne permet pas de conclure... Cela dit je ne suis pas exactement doué en probas, donc il se peut que quelque chose m'échappe, et dans ce cas je vous présente mes excuse (et au passage, pouvez-vous m'expliquer comment vous l'utilisez ?)

[Teddy-mension]

Je parlais de cette remarque. Il me semble qu'en l'occurence, elle ne permet pas de conclure... Cela dit je ne suis pas exactement doué en probas, donc il se peut que quelque chose m'échappe, et dans ce cas je vous présente mes excuse (et au passage, pouvez-vous m'expliquer comment vous l'utilisez ?)

La probabilité qu'aucun oscilloscope ne soit cassé est 0.8²⁰.. Ça me semble donc logique de diviser ce résultat par 0.2 (probabilité qu'un oscillo soit cassé !) pour définir la probabilité qu'il n'y en ait qu'un sur les vingt qui soit cassé.. En tout cas, j'ai vérifié le résultat, et il est correct.
Par contre, vous avez raison dans le sens où je suis incapable de démontrer ce résultat, et, par conséquent, c'est sûrement pas la méthode à adopter.. x)
Après, c'est peut être aussi juste un coup de chance, et dans ce cas ma méthode est incorrecte..

[Elwyr]

Effectivement, ça tombe juste. Ca me semble assez miraculeux... D'autant plus que si je change la probabilité par 0,7, ça ne marche plus ! (Je trouve à peu près 0,3% de probabilité, contre un résultat correct proche de 0,7%).

On peut toujours essayer de faire des calculs pour trouver à quelle condition sur le nombre d'oscillos et la probabilité (ça fait une petite équation de degré 2 à résoudre) on peut appliquer cette technique... Mais ce n'était qu'une coïncidence. C'est dommage, parce que c'était bluffant !

[Teddy-mension]

Oui, j'ai aussi essayé pour 18 oscilloscopes, en appliquant la même méthode, et ça ne marche pas du tout..
En fait au départ, j'ai voulu tenter un calcul simple, et je me suis dit: "Tiens, et si tu divisais par 0.2 !", et bim, je retrouvais pareil qu'avec la loi binomiale..
Donc je me suis dit que c’était plutôt logique, mais à y regarder de plus près, c'est vrai que c'est plus du bluff et du tricotage pur et simple. Tant pis, j'aurais essayé !

Mea culpa !

[invitef54081b0]

Je pense avoir trouvé : il faudrait donc faire 0.8^19 pour les 19 qui marchent puis multiplier par 0.2 pour celui qui est cassé et enfin par 20 parce que l'on ne sait pas si c'est le 1er, le 2ème, le 12ème, etc.. qui est cassé, et il y a donc 20 issues possibles.

0.8^19 *0,2 *20 = 0,0576 ???

[Elwyr]

C'est tout à fait ça ! Enfin, mis à part que ce n'est pas tout à fait une égalité stricte, mais un arrondi. vous n'avez plus qu'à en déduire la réponse à la question suivante.

[invitef54081b0]

La réponse à la question suivante serait donc, si l'on considère Y comme le nombre d'oscilloscopes cassés :

P(Y>2) =0.2^2 * 0.8^18 *20 = 0.0144

ou P(X=<18) = 0.2^2 * 0.8^18 * 20 = 0.0144 ???

[Elwyr]

Ah, non, là je ne suis plus d'accord du tout. Autant on a eu un coup de chance pour le cas X = 19, autant si on veut calculer séparément les probabilités des évènements X = 18, ... , X = 0 et tout sommer, ça va être beaucoup plus compliqué que ça.

Non, là, comme le disait Teddy-mension, on connaît la propriété qu'au plus un oscillo soit cassé (par une petite opération sur les cas déjà étudiés). Il n'y aurait pas un rapport avec la probabilité qu'on essaie de calculer ?

[Médiat]

En fait au départ, j'ai voulu tenter un calcul simple, et je me suis dit: "Tiens, et si tu divisais par 0.2 !", et bim, je retrouvais pareil qu'avec la loi binomiale..
Donc je me suis dit que c’était plutôt logique, mais à y regarder de plus près, c'est vrai que c'est plus du bluff et du tricotage pur et simple. Tant pis, j'aurais essayé !

J'espère que votre professeur de mathématiques ne tombera pas la-dessus !


Ce qui est fautif dans votre démarche, ce n'est pas d'expérimenter, mais de conclure trop vite (2 + 2 = 4, 2 x 2 = 4 et 2² = 4, donc l'addition, la multiplication et l'exponentiation, c'est pareil !).