Devoir sur probabilités, complexes et exponentielle

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !
Je suis depuis plusieurs jours sur ce devoir maison et je ne parviens pas à répondre à certaines questions, j'aurais besoin de votre aide !

Voici l'énoncé de l'exercice II

Soient les points A, B et J d'affixes respectives -i, 1-i et i.
On désigne par D la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de contre O et de rayon 1.
A tout point M d'affixe z (différente de 1-i) on associe le point M' d'affixe z' = (i*(z+i)) / (z-1+i)
On appelle M' image du point M.

1/ Calculer les affixes des points A' et O'.
3/ Montrer que l'équation z = (i(z+i)) / (z-1+i) admet deux solutions que l'on précisera. On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C.

Merci d'avance pour votre aide ! ^^

PS : Je n'ai pas Latex donc désolée pour les écritures mathématiques qui ne sont pas très lisibles.
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[invitea97b4264]

Pour la question 1/ je pense que mon raisonnement est correct :
z'_A = (i(z_A+i)) / (z_A-1+i)
= (i(-i+i)) / (-i-1+i) = 0
Donc A' a pour affixe z'_A=0

z'_O = (i(z_O+i)) / (z_O-1+i)
= 1

O' a pour affixe z'_O = 1.

[invite7f0233d4]

3/ Montrer que l'équation z = (i(z+i)) / (z-1+i)

il suffit d'écrire cette équation sous la forme habituelle az²+bz+c=0.

[invitea97b4264]

Et pour la question 3/ voici ma réponse (je ne sais pas si elle est correcte) :

z = (i(z+i)) / (z-1+i) <=> z² -z+1 = 0 (trinôme)
Delta = b² - 4ac = 1 - 4*1*1 = -3< 0 donc deux solutions complexes conjuguées

z₁ = (-b+ i*Racine(-Delta)) / 2a = (1+ i*Racine(3)) /2

z₂= (-b- i*Racine(-Delta)) / 2a = (1- i*Racine(3)) /2

S = {z₁ ; z₂}

C'est correct ? En revanche je ne vois pas comment justifier qu'ils appartiennent au cercle ! :S

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea97b4264]

On sait maintenant que E a pour coordonnées E(1/2 ; (iRacine(3)) / 2) et F(1/2 ; (-iRacine(3)) / 2).
J'ai pensé que pour justifier que ces points appartiennent au cercle C, il fallait que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle non?

[invite7f0233d4]

On sait maintenant que E a pour coordonnées E(1/2 ; (iRacine(3)) / 2) et F(1/2 ; (-iRacine(3)) / 2).
J'ai pensé que pour justifier que ces points appartiennent au cercle C, il fallait que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle non?

Exactement.

[invitea97b4264]

Exactement.

Donc E appartient à C <=> (x - 1/2)² + (y- (iRacine(3)) /2)² = 1²
<=> x + y = (3- iRacine(3)) /2
A partir de la je suis bloquée :S

[invite7f0233d4]

Quelle est l'équation du cercle de centre 0 et de rayon 1?

[invitea97b4264]

Quelle est l'équation du cercle de centre 0 et de rayon 1?

on sait juste que C a un centre O et pour rayon 1 comme précisé dans l'énoncé.
Donc son équation de cercle est (x-a)² + (y-b)² = 1² <=> M(a;b)

[invite7f0233d4]

on sait juste que C a un centre O et pour rayon 1 comme précisé dans l'énoncé.
Donc son équation de cercle est (x-a)² + (y-b)² = 1² <=> M(a;b)

O n'est pas l'origine de ton repère?

[invitea97b4264]

O n'est pas l'origine de ton repère?

Si si évidemment O(0;0) mais si je veux que le point E appartienne au cercle, il faut que ses coordonées vérifient l'équation écrite au message 7 ci dessus il me semble

[invite7f0233d4]

Si si évidemment O(0;0)

Qu'est ce que le point M(a,b)?

[invitea97b4264]

Qu'est ce que le point M(a,b)?

Jai choisi le point M a titre d'exemple tu n'a pas lu le message 7? Jy ai écrit l'équation

[invite7f0233d4]

Jai choisi le point M a titre d'exemple tu n'a pas lu le message 7? Jy ai écrit l'équation

Le point M ne représenterais pas le centre de ton cercle??

[invitea97b4264]

non le point M est un point sur le cercle au meme titre que le point E et F. Je suis en terminale S peut etre que l'exercice n'est pas de ton niveau si ? :S

[invite7f0233d4]

non le point M est un point sur le cercle au meme titre que le point E et F. Je suis en terminale S peut etre que l'exercice n'est pas de ton niveau si ? :S

Je t'invite à revoir ce qu'est l'équation d'un cercle:
Ici

[invitea97b4264]

Je t'invite à revoir ce qu'est l'équation d'un cercle:
Ici

! Je suis bete excuse moi tu as raison XD je vais revoir mon équation je te redis ca tout de suite olala jai besoin de repos

[invitea97b4264]

Voila :

E(1/2 ; (iRacine(3)) /2) appartient à C <=> (0- 1/2)² + (0 - (iRacine(3))/2)² = 1²
<=> 1/4 + 3i²/4 = 1
<=> -1 = 1 => C'est faux !
Ou est mon erreur ?

[invite7f0233d4]

Voila :

E(1/2 ; (iRacine(3)) /2) appartient à C <=> (0- 1/2)² + (0 - (iRacine(3))/2)² = 1²
<=> 1/4 + 3i²/4 = 1
<=> -1 = 1 => C'est faux !
Ou est mon erreur ?

Les coordonnés du points E sont: ,même chose pour F.Il y a pas de i(je ne l'ai pas remarqué tout à l'heure).

[inviteaefbdd28]

Voila :

E(1/2 ; (iRacine(3)) /2) appartient à C <=> (0- 1/2)² + (0 - (iRacine(3))/2)² = 1²
<=> 1/4 + 3i²/4 = 1
<=> -1 = 1 => C'est faux !
Ou est mon erreur ?

Il y en a 2 !
Le i n'est pas dans les coordonnées de E.
Rappel : si z = a+ib, alors Z(a,b), ET NON Z(a,ib).

Donc

Deuxième erreur, l'équation de ton cercle : pour l'argument des carrés, c'est l'opposé de ce que tu as écrit (dans le cas général, (x-a) et (y-b), et non comme tu l'as fait (a-x) et (b-y)).

Equation d'un cercle de centre O (0,0) de rayon 1 :
x²+y²=1

Recommence avec ces données, et ça marche !

[invitea97b4264]

On voit que je nai pas fait de maths depuis un moment
Donc je trouve que 1 = 1 pour les deux points et ainsi on vérifie que E et F appartiennent au cercle C.

[invitea97b4264]

Merci a vous deux ^^
Voici la suite de mon exercice :

Soit M un point distinct du point B et M' son image.
a) Exprimer la distance OM' en fonction des distances AM et BM.
b) Montrer que, si le point M décrit la droite D, alors le point M' décrit un cercle que l'on précisera.

[invitea97b4264]

(N'ayant pas latex jutiliserai tout au long de l'exercice ! au lieu de la barre unique du module d'un nombre complexe)

On sait que OM' = !z_O-z_M'!
= !z'!
Mais comment faire intervenir les distances AM et BM pour exprimer la distance OM' ?

[inviteaefbdd28]

Soit M un point distinct du point B et M' son image.
a) Exprimer la distance OM' en fonction des distances AM et BM.

Faisons appel à notre ami Chasles !

[invitea97b4264]

Je ne vois pas comment appliquer la relation de Chasles ici sachant que M est distinct de B :S

[invite7f0233d4]

Regarde attentivement la relation liant z' à z y aurait pas du z_a et du z_b pas loin ?

[invitea97b4264]

Regarde attentivement la relation liant z' à z y aurait pas du z_a et du z_b pas loin ?

Pourrais dévellopper je ne vois pas :S

[inviteaefbdd28]

Au temps / Autant / Ô temps pour moi, ça ne marche pas avec Chasles, j'ai regardé (trop) vite (et mal) fait.

Regarde attentivement la relation liant z' à z y aurait pas du z_a et du z_b pas loin ?

C'est effectivement immédiat, bien vu Kley !

[inviteaefbdd28]

Pourrais dévellopper je ne vois pas :S

z+i = z-(-i)
z-1+i = z-(1-i)

Et donc.. : - )

[invitea97b4264]

z+i = z-(-i)
z-1+i = z-(1-i)

Et donc.. : - )

Je ne comprends toujours pas ton raisonnement comment fais tu intervenir les affixes de zA et ZB ?