Combinatoire - Billes

[The_Anonymous]

Bonjour

J'ai un problème de combinatoire qui me laisse perplexe, je vous donne l'énoncé :

"De combien de manières différentes peut-on aligner 5 billes rouges, 2 billes blanches et 3 billes bleues? Et si on préfère les disposer en cercle?".

Pour la première partie, j'ai simplement trouvé .

Par contre, pour ce qui est de la disposition sur un cercle, j'ai plus de mal...

Je vois qu'il y a des possibilités en moins par rapport à l'alignement, car par exemple si sur la ligne, on avance chaque bille d'un cran et que celle au bout prend la place de la première, on obtient une combinaison de plus, tandis que sur un cercle, si chaque bille avance d'une place, on obtient la même combinaison.

Mais le problème est que je ne sais pas comment dénombrer ces possibilités en moins, et je ne vois aucune formule rapprochant ceci...

Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît?

Merci beaucoup d'avance

Cordialement,

Brazeor
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[gg0]

Bonjour.

Cet exercice (qu'on trouve souvent) est le type même d'exercice mal formulé. Il manque la définition de ce qu'est placer les billes.
Après, on peut décider soi-même de ce qu'est un placement (tu as pris une telle décision, puisque tu as donné un résultat), par exemple en décidant qu'échanger 2 boules rouges change ou pas la disposition, que le sens de parcours importe, ou pas, que l'endroit exact où est placée une bille est important ou que seul l'ordre relatif compte, etc.)
Idem en plus vicieux pour le cercle.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Pour plus de précisions, la couleur rend les billes indistinctes (français? ^^), donc échanger 2 boules rouges ne change pas la disposition, changer le sens de parcours revient à 2 dispositions, et seul l'ordre relatif compte.

Mais alors comment faut-il compter pour le cercle? Faut-il soustraire à la première partie des combinaisons en moins ou faut-il établir un nouveau raisonnement?

Merci pour vos réponses!

Cordialement

[gg0]

Il faut définir ce que sont des placements identiques ou différents. Amuse-toi bien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Oui d'accord, mais il me faut une méthode... Je n'ai pas trop envie les 500 possibilités sur une feuille de brouillon.

Je sais que si on avance chaque bille d'un cran, on obtient une même combinaison.

Mais comment compter ces combinaisons en moins?

Y a-t-il d'autres combinaisons à soustraire?

Cordialement

[The_Anonymous]

Puis-je solliciter votre aide à nouveau, je suis vraiment en panne, j'ai commencé deux pages de brouillons de comptage de combinaisons possibles, et je désespère de n'avoir fait qu'un dixième des réponses apparemment possibles... Si vous pouviez vous penchez sur mon exercice, cela serait vraiment sympa, la date butoire de la reddition de cet exercice approche, je sais bien que ce que je viens de dire va à l'encontre de la politique de ce forum, mais je suis dérouté par cette réflexion dont je ne vois pas le rapprochement avec le cours (peut-être n'y en a-t-il pas?!)...

M'enfin bref...

Il semblerait qu'on peut multiplier toutes les possibilités d'arranger les groupes de 2, 3 et 5 billes dans le cercle, mais je ne fais que supposer...

J'ai en fait vraiment besoin de savoir : faut-il développer un nouveau raisonnement, ou bien soustraire au résultat obtenu dans la première partie des combinaisons impossibles?

Et dans les deux cas, comment fait-on pour dénombrer ces nouvelles possibilités ou bien les combinaisons impossibles?

Je suppose qu'il y a une formule, un résultat bien précis à appliquer, mais lequel?

Merci énormément de tout le soutien que vous pourrez m'apporter, je vous en suis d'avance très reconnaissant!

Merci encore,

Cordialement

P.S. : Pour #4, j'ai défini que le sens du cercle était important tout comme l'ordre, mais qu'il ne fallait pas penser à un "début" et à une "fin" du cercle.

[gg0]

Bonjour.

Il y a pas mal d'interprétations de cet énoncé; Disons que l'on peut considérer que ton cercle est un segment refermé sur lui-même. Reste à savoir comment on sait que deux répartitions autour du cercle sont les mêmes. Une des méthodes est de considérer que si on fait une rotation, on ne change pas la répartition; certains autorisent aussi les symétries axialle (dans ce cas, le sens de parcours du cercle n'intervient plus. Tu trouveras peut-être des éléments avec le nom "problème du collier".

Pour moi, j'ai toujours trouvé cet exercice sans intérêt. Je te laisse voir ...

Cordialement.