Probabilité : Dé

[The_Anonymous]

Bonjour

Je me permets d'ouvrir une nouvelle discussion, l'autre était en suspens maintenant que j'ai rendu ma copie et que j'attends le corrigé pour bien voir de quelle manière cette exercice était faisable.

L'objet de cette discussion est assez étrange (comme toujours en somme), voici l'énoncé tel que je l'ai :

"Combien de fois t'attends-tu à devoir lancer un dé avant que chacunes des faces soit apparue au moins une fois?"

Je pense qu'il y a deux "inconnues", le nombre de lancer qu'on fait ainsi que la probabilité de tomber sur un lancer dont tous les nombres de 1 à 6 apparaissent.

Mais l'énoncé ne nous dit ni une probabilité minimale à obtenir pour "s'attendre" à tomber sur un bon tirage, ni un nombre de lancer à faire.

Je voulais donc calculer pour 6 (le minimum) à 20 (arbitrairement) tirages quelle est la probabilité d'obtenir une suite de résultat avec tous les nombres de 1 à 6.

Pour n=6 (n le nombre de lancer), j'ai simplement trouvé .

Par contre, pour trouver les bons tirages avec les six chiffres parmis 7, je peine beaucoup plus... J'ai eu beau faire à la main (écrire tous les essais) pour des plus petits chiffres, je ne vois pas...

Merci beaucoup de l'aide que vous pourrez m'apporter

Cordialement
-----

[12Pierre44]

Bonjour,
Connaissez-vous la loi normale représentée par la courbe de Gauss ?
Sinon, si j'étais vous, je ferais une petite simulation avec un outil quelconque.
Même en connaissant la loi normale, cette simulation pourrait servir de vérification.

[The_Anonymous]

Bonjour,
Connaissez-vous la loi normale représentée par la courbe de Gauss ?
Sinon, si j'étais vous, je ferais une petite simulation avec un outil quelconque.
Même en connaissant la loi normale, cette simulation pourrait servir de vérification.

Bonjour

Alors oui, je connais la loi normale, mais à un niveau de base.

Disons que je connais la formule de densité ( ), ainsi que comment représenter la courbe avec des données.

Mais je suis curieux de votre raisonnement avec la loi normale, je suis toute ouïe

J'ai fait une simulation avec des nombres petits, mais je n'ai pu déduire aucun résultat.

Merci de votre réponse !

Cordialement

[12Pierre44]

Bon, je vais essayer d'être clair.
Si vous faites un certain nombre N (disons une bonne vingtaine) de jets d'un dé à 6 faces, chaque face a une chance sur 6 de sortir.
Chaque face est sortie n fois, donc n1, n2, n3, n4, n5, n6.
La moyenne théorique est m=N/6.
Pour chaque face on calcule e=m-n
On calcule la somme des carrés que l'on divise par 6, et on prend la racine carrée, on obtient l'écart-type.
Comme les écarts d'expérience aléatoires se répartissent suivant la loi normale, on sait que chaque classe sera renseignée conformément à la densité théorique.

Dans votre cas, il parait plus facile de calculer la probabilité de "ne pas avoir l'une des faces au bout d'un certain nombre de tirages" et de prendre le complément à 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

J'ai bien une méthode pour obtenir la probabilité exacte, mais elle est un peu pénible :

Déjà on assimile n lancers successifs à un n-uplet d'éléments de {1,...,6}

Il y a donc 6^n façons de lancer n fois successivement un dé


Ensuite, il y a 5^n façons de lancer successivement un dé sans qu'il sorte un 1 (nombre de n-uplets de {2,...6}), et idem pour chaque autre face.

Le "problème", c'est qu'on ne peut pas juste faire la somme, car on a compté certains lancers deux fois : il faut donc enlever les lancers ou deux faces ne sont pas sorties (il y en a 4^n pour chaque combinaison de 2 face). Il y a C(2,6) combinaisons de 2 faces possibles
Ensuite il faut rajouter les lancers où 3 faces ne sont pas sorties
Ensuite il faut enlever les lancers où 4 faces ne sont pas sorties
Et finalement ajouter les lancers où 5 faces ne sont pas sorties


Au final la probabilité de ne pas avoir toutes les faces au bout de n lancers est (sauf erreur) de :



Cette formule n'a de sens que pour .


Ensuite le problème est que la question est ambiguë. Personnellement, j'aurai tendance à vouloir calculer l'espérance du nombre de lancers, on pourra alors répondre "en moyenne, x lancers sont nécessaires pour obtenir les 6 faces".

Au niveau lycée par contre, c'est un peu embêtant : il faut savoir calculer les sommes du type

[12Pierre44]

Je trouve que toutes les faces sont apparues au bout de 16 tirages, en moyenne.
Mais ça peut aller jusqu'à 48.
En gros, une chance sur 2 que ça se situe entre 10 et 20 tirages.

[joel_5632]

je mets un lien pour ceux qui ne connaîtraient pas la très utile formule de Poincarré

http://fr.wikipedia.org/wiki/Princip...sion-exclusion

[joel_5632]

Finalement j'ai un doute sur la réponse de tryss

Considérons n=7 et le tirage 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6

on va considérer ce tirage comme gagnant et il est comptabilisé comme tel par tryss car tous les chiffres sont sortis, mais on aurait du s'arrêter au 6ème jet car tous les chiffres étaient sortis au 6eme jet.

[Tryss]

Je trouve que toutes les faces sont apparues au bout de 16 tirages, en moyenne.
Mais ça peut aller jusqu'à 48.

Non, le nombre de tirages nécessaire pour obtenir les 6 faces peut être arbitrairement grand. Par contre on obtiendra presque surement les 6 faces en un temps fini.

Et en moyenne, je trouve plutôt qu'il faut un peu moins de 14.7 tirages, avec la situation la plus probable qui est d'avoir tiré les 6 faces au 11 ème lancé (avec un peu plus de 8% de chances). (obtenu en simulant 500.000 séries de tirages)

[ansset]

on peut aussi partir de:
P(toutes les faces sont apparues) = 1 - P( il existe une face au moins qui n'est jamais apparue )

[12Pierre44]

Je rappelle la question :

"Combien de fois t'attends-tu à devoir lancer un dé avant que chacunes des faces soit apparue au moins une fois?"

La bonne réponse est assurément une quinzaine, mais comment aider notre ami à le montrer ?

[joel_5632]

"Combien de fois t'attends-tu à devoir lancer un dé avant que chacunes des faces soit apparue au moins une fois?"

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de jets pour obtenir toutes les faces d'un dé.

On va calculer P(X>n)

Il faut plus de n jets pour obtenir les 6 chiffres de 1 à 6 si il manque au moins un chiffre sur les n premier jets.

soit M1 l'évènement "il manque le 1" après n jets, puis M2 .. M6 les évènements "il manque le 2 ... 6" après n jets

Par application de la formule de Poincarré, on a:

Pb(M1 ou M2 ou ... M6) =
+ (Pb(M1) + ... Pb(M6))
- (Pb(M1 et M2) + ... Pb(M5 et M6)) toutes les probabilité 2 à 2
+ toutes les probabilités 3 à 3
- toutes les probabilités 4 à 4
+ toutes les probabilités 5 à 5
- Pb(M1 et M2 et M3 et M4 et M5 et M6) cette dernière fait 0

Pb(M1 ou M2 ou ... M6) =






soit

P(X>n) =

c'est amusant car cette formule marche aussi pour n=1, 2 .. 5 et on trouve bien 1 comme probabilité, mais par pour 0. J'aurais pensé qu'elle ne marchait qu'à partir de 5.

Passons maintenant au calcul de l'espérance mathématique de X
On a de la chance car on dispose de cette formule:

pour n = 0 à 4, P(X=n) vaut 1

donc on a

On passe chez wolfgramalpha pour le calcul

http://www.wolframalpha.com/input/?i...*2^n%2B6}{6^n}

et on trouve le 14.7 que certains ont trouvé avec une simulation informatique

[joel_5632]

si vous voulez la formule explicite pour P(X=n) il suffit de remarquer que P(X>n-1) = P(X=n) + P(X>n)
et donc P(X=n) = P(X>n-1)- P(X>n)

[The_Anonymous]

Bon, je vais essayer d'être clair.
Si vous faites un certain nombre N (disons une bonne vingtaine) de jets d'un dé à 6 faces, chaque face a une chance sur 6 de sortir.
Chaque face est sortie n fois, donc n1, n2, n3, n4, n5, n6.
La moyenne théorique est m=N/6.
Pour chaque face on calcule e=m-n
On calcule la somme des carrés que l'on divise par 6, et on prend la racine carrée, on obtient l'écart-type.
Comme les écarts d'expérience aléatoires se répartissent suivant la loi normale, on sait que chaque classe sera renseignée conformément à la densité théorique.

Dans votre cas, il parait plus facile de calculer la probabilité de "ne pas avoir l'une des faces au bout d'un certain nombre de tirages" et de prendre le complément à 1.

Bonjour,

Ouh là.... Ça m'a l'air un peu compliqué.. Merci en tous cas de votre démarche, je vois dans quel genre de situation cette loi sert.

Merci de votre réponse

J'ai bien une méthode pour obtenir la probabilité exacte, mais elle est un peu pénible :

Déjà on assimile n lancers successifs à un n-uplet d'éléments de {1,...,6}

Il y a donc 6^n façons de lancer n fois successivement un dé


Ensuite, il y a 5^n façons de lancer successivement un dé sans qu'il sorte un 1 (nombre de n-uplets de {2,...6}), et idem pour chaque autre face.

Le "problème", c'est qu'on ne peut pas juste faire la somme, car on a compté certains lancers deux fois : il faut donc enlever les lancers ou deux faces ne sont pas sorties (il y en a 4^n pour chaque combinaison de 2 face). Il y a C(2,6) combinaisons de 2 faces possibles
Ensuite il faut rajouter les lancers où 3 faces ne sont pas sorties
Ensuite il faut enlever les lancers où 4 faces ne sont pas sorties
Et finalement ajouter les lancers où 5 faces ne sont pas sorties


Au final la probabilité de ne pas avoir toutes les faces au bout de n lancers est (sauf erreur) de :



Cette formule n'a de sens que pour .


Ensuite le problème est que la question est ambiguë. Personnellement, j'aurai tendance à vouloir calculer l'espérance du nombre de lancers, on pourra alors répondre "en moyenne, x lancers sont nécessaires pour obtenir les 6 faces".

Au niveau lycée par contre, c'est un peu embêtant : il faut savoir calculer les sommes du type

Wow merci beaucoup aussi x)

J'ai bien compris votre démarche (calculer le complémentaire de ce qui est demandé, et comment calculer le complémentaire), votre formule me plait bien

Pour " Ensuite le problème est que la question est ambiguë. Personnellement, j'aurai tendance à vouloir calculer l'espérance du nombre de lancers, on pourra alors répondre "en moyenne, x lancers sont nécessaires pour obtenir les 6 faces". ", je suis assez d'accord, je pense que c'est la bonne méthode

Pour ce qui est de calculer le genre de somme que vous avez indiqué, je ne sais pas comment calculer pour n'importe quel ou (sauf si par exemple ), mais sinon Wolfram Alpha peut m'aider x)

Merci de votre aide

Cordialement

Je trouve que toutes les faces sont apparues au bout de 16 tirages, en moyenne.
Mais ça peut aller jusqu'à 48.
En gros, une chance sur 2 que ça se situe entre 10 et 20 tirages.

D'accord x)

Je vais me baser sur les raisonnements qui m'ont été expliqués en détail et qui n'utilisent pas la loi normale (trop difficile encore, désolé), j'y arriverais mieux ainsi (désolé, ce n'est pas pour rejeter vos conseils, mais je comprendrais peut-être dans une année, pour l'instant c'est un peu dur).

je mets un lien pour ceux qui ne connaîtraient pas la très utile formule de Poincarré

http://fr.wikipedia.org/wiki/Princip...sion-exclusion

Haha x) j'ai encore la page dans mon browser depuis que j'ai dû la démontrer x)

Merci de l'indication de la formule utilisée!

on peut aussi partir de:
P(toutes les faces sont apparues) = 1 - P( il existe une face au moins qui n'est jamais apparue )

Je pense que c'est ce que disent Tryss et joel_5632 depuis le début ^^

Je rappelle la question :
La bonne réponse est assurément une quinzaine, mais comment aider notre ami à le montrer ?

La réponse de Tryss en #5 et celle de joel_5632 en #12 me plaisent bien, elles me vont bien pour expliquer et résoudre le problème

"Combien de fois t'attends-tu à devoir lancer un dé avant que chacunes des faces soit apparue au moins une fois?"

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de jets pour obtenir toutes les faces d'un dé.

On va calculer P(X>n)

Il faut plus de n jets pour obtenir les 6 chiffres de 1 à 6 si il manque au moins un chiffre sur les n premier jets.

soit M1 l'évènement "il manque le 1" après n jets, puis M2 .. M6 les évènements "il manque le 2 ... 6" après n jets

Par application de la formule de Poincarré, on a:

Pb(M1 ou M2 ou ... M6) =
+ (Pb(M1) + ... Pb(M6))
- (Pb(M1 et M2) + ... Pb(M5 et M6)) toutes les probabilité 2 à 2
+ toutes les probabilités 3 à 3
- toutes les probabilités 4 à 4
+ toutes les probabilités 5 à 5
- Pb(M1 et M2 et M3 et M4 et M5 et M6) cette dernière fait 0

Pb(M1 ou M2 ou ... M6) =






soit

P(X>n) =

c'est amusant car cette formule marche aussi pour n=1, 2 .. 5 et on trouve bien 1 comme probabilité, mais par pour 0. J'aurais pensé qu'elle ne marchait qu'à partir de 5.

Passons maintenant au calcul de l'espérance mathématique de X
On a de la chance car on dispose de cette formule:

pour n = 0 à 4, P(X=n) vaut 1

donc on a

On passe chez wolfgramalpha pour le calcul

http://www.wolframalpha.com/input/?i...*2^n%2B6}{6^n}

et on trouve le 14.7 que certains ont trouvé avec une simulation informatique

si vous voulez la formule explicite pour P(X=n) il suffit de remarquer que P(X>n-1) = P(X=n) + P(X>n)
et donc P(X=n) = P(X>n-1)- P(X>n)

Merci pour cette deuxième version !

Très bien expliqué et clair, j'ai tout compris



@all : Merci à tous pour toutes ces réponses! =)

Vous m'avez tous bien aidé, je rédige mon exercice tout de suite

Cordialement =D

[The_Anonymous]

Euh... En me creusant un peu encore... Je tombe sur deux ou trois incompréhensions...

La première réside au cas de n=0. Dans #12, je comprends que et pourtant je trouve tout le temps 2 ( ), ce qui fait que du coup je trouve 15,7 et pas 14,7...

La deuxième est un peu subtile, mais je comprends pas pourquoi calculer n de 0 à 100 (comme dans #12 : http://www.wolframalpha.com/input/?i...%7D%7B6%5En%7D ) plutôt que de calculer n de 0 à l'infini ( http://www.wolframalpha.com/input/?i...%7D%7B6%5En%7D ). Cela ne fait pas une énorme différence, mais peut-on assurer que l'espérance vaut exactement 15,7 (ou 14,7) ou bien c'est une approximation?

La dernière concerne le raisonnement global : on est en train de calculer les probabilités qu'au moins une face n'apparaisse pas.

Mais alors ne faudrait-il pas faire ?
Je vois que ce n'est pas ça, car la somme diverge, mais je ne comprends pas pourquoi calculer la probabilité complémentaire donne la bonne solution...

Merci de vos éclaircissements !

Cordialement

[12Pierre44]

Bonjour,

ce qui fait que du coup je trouve 15,7 et pas 14,7...

Tentative de réponse : j'ai trouvé aussi 14.7, mais comme mon calcul démarre = 0 (zéro) et non 1, j'ai augmenté de 1.
En informatique, la plupart de temps, on boucle de 0 à < [max].
Donc le premier coup vaut 0.
Par ailleurs, l'expression "probabilité exacte" me parait un peu bizarre, d'autant que l'énoncé précise "qu'attends-tu".
Enfin, il me parait intéressant se savoir, en plus de la moyenne, la marge d'erreur.
Il n'est pas utile de faire une très grande quantité d'essais. On admet généralement qu'une trentaine, c'est assez significatifs. Personnellement, j'ai fait 100 tirages, mais j'ai répété l'opération 8 fois, pour vérifier que les répartitions étaient homogènes.
Moy=13.9 emq=6.5 ep=4.3 Min=5 Max=36
Moy=13.8 emq=7.3 ep=4.9 Min=6 Max=47
Moy=12.7 emq=5.1 ep=3.4 Min=5 Max=33
Moy=15.4 emq=7.4 ep=4.9 Min=5 Max=44
Moy=14.4 emq=5.6 ep=3.7 Min=6 Max=33
Moy=13.4 emq=6.3 ep=4.2 Min=5 Max=37
Moy=13.6 emq=6.2 ep=4.1 Min=5 Max=37
Moy=14.0 emq=6.5 ep=4.3 Min=5 Max=38

[gg0]

Bonsoir 12pierre44.

En informatique, on commence à 0, mais 0 est le premier pas de la boucle d'accord. mais quand on compte, on commence à 1, et 1 est le premier terme du comptage. Il ne faut pas importer ailleurs des habitudes locales.
D'ailleurs tes simulations sont tout à fait compatibles avec 14,7; pas avec 15,7 (8 fois de suite en dessous de la valeur attendue, c'est fortement improbable).

Cordialement.

[joel_5632]

en rrponse a anonyme
La formule a ete etablie por n>6. IL Se trouve qu elle marche zussi pour n de 1 a 5 par chance et pour 0 effectivement elle ne marche pas
Ensuite dans wolfram j ai zrrete a 100 car avec infty j ai un depassrment de runtime.
Mais ce sont fes seried geomrtroqie, tu peux fzire le czlcul exact.
Ensuite pour le rzisonnement globzl, la formule donne P(X>n)
les 6 faces sortent aprrs N jets s il manque un 1ou 2 ... 6 lors des N premiers jets.

Je suos sur smaryphonr. C esy dur f ecrire

[The_Anonymous]

Bonjour,
Tentative de réponse : j'ai trouvé aussi 14.7, mais comme mon calcul démarre = 0 (zéro) et non 1, j'ai augmenté de 1.
En informatique, la plupart de temps, on boucle de 0 à < [max].
Donc le premier coup vaut 0.
Par ailleurs, l'expression "probabilité exacte" me parait un peu bizarre, d'autant que l'énoncé précise "qu'attends-tu".
Enfin, il me parait intéressant se savoir, en plus de la moyenne, la marge d'erreur.
Il n'est pas utile de faire une très grande quantité d'essais. On admet généralement qu'une trentaine, c'est assez significatifs. Personnellement, j'ai fait 100 tirages, mais j'ai répété l'opération 8 fois, pour vérifier que les répartitions étaient homogènes.
Moy=13.9 emq=6.5 ep=4.3 Min=5 Max=36
Moy=13.8 emq=7.3 ep=4.9 Min=6 Max=47
Moy=12.7 emq=5.1 ep=3.4 Min=5 Max=33
Moy=15.4 emq=7.4 ep=4.9 Min=5 Max=44
Moy=14.4 emq=5.6 ep=3.7 Min=6 Max=33
Moy=13.4 emq=6.3 ep=4.2 Min=5 Max=37
Moy=13.6 emq=6.2 ep=4.1 Min=5 Max=37
Moy=14.0 emq=6.5 ep=4.3 Min=5 Max=38

Bonsoir 12pierre44.

En informatique, on commence à 0, mais 0 est le premier pas de la boucle d'accord. mais quand on compte, on commence à 1, et 1 est le premier terme du comptage. Il ne faut pas importer ailleurs des habitudes locales.
D'ailleurs tes simulations sont tout à fait compatibles avec 14,7; pas avec 15,7 (8 fois de suite en dessous de la valeur attendue, c'est fortement improbable).

Cordialement.

Bonjour

D'accord, mais ce que je ne comprends pas, c'est qu'en incluant le rang n=0, on trouve 15.7, et en commençant à partir de n=1, on tombe sur 13.7 (logiquement puisque le rang n=0 vaut 2). Donc comment faites-vous pour arriver à 14.7 ??

Je me demande bien...

en rrponse a anonyme
La formule a ete etablie por n>6. IL Se trouve qu elle marche zussi pour n de 1 a 5 par chance et pour 0 effectivement elle ne marche pas
Ensuite dans wolfram j ai zrrete a 100 car avec infty j ai un depassrment de runtime.
Mais ce sont fes seried geomrtroqie, tu peux fzire le czlcul exact.
Ensuite pour le rzisonnement globzl, la formule donne P(X>n)
les 6 faces sortent aprrs N jets s il manque un 1ou 2 ... 6 lors des N premiers jets.

Je suos sur smaryphonr. C esy dur f ecrire

Ok (je vous ai compris, pas de soucis ^^) Je sais pas, j'arrive à faire le calcul avec l'infini

P.S. : Je fais tous mes messages sur smartphone x)

Cordialement

[gg0]

Désolé, L'anonyme,

mais si n est bien le nombre de lancers de dé, pour n=0 il n'y a pas de lancer à comptabiliser. Si on ne lance pas, on n'a aucun lancer !!
Je n'ai pas non plus compris ton "le rang n=0 vaut 2" assez ésotérique !

Cordialement.

NB : On le constate, le smartphone n'est pas fait pour communiquer (sur un forum de maths).

[12Pierre44]

D'accord, mais ce que je ne comprends pas, c'est qu'en incluant le rang n=0, on trouve 15.7, et en commençant à partir de n=1, on tombe sur 13.7 (logiquement puisque le rang n=0 vaut 2). Donc comment faites-vous pour arriver à 14.7 ??

Bon, je corrige ma réponse.
Il y a en fait 2 écueils, d'abord le décompte 0 qui vaut 1 etc. J'ai rajouté 1, la moyenne de mes 8 essais est 13.9 que j'ai arrondi à 14, puis j'ai rajouté 1, ce qui fait 15 (et non 16 noté par erreur).
Le second, est que l'énoncé indique "Combien ... avant ...". Donc quand on a trouvé que toutes les faces étaient apparues, au bout de N tirages, le résultat est (N-1).
A mon avis, l'intérêt du problème est que entre 10 et 20 tirages on a une chance sur deux d'avoir eu les 6 faces et que on a une idée du nombre de tirages pour être presque sûr d'avoir les 6 faces, en gros 48.
Pour ce genre de problème où il difficile d'être certain du résultat, il me semble qu'une bonne simulation vaut tous les calculs théoriques.
Je vous avouerai, par ailleurs, que j'ai fait ce calcul assez rapidement, sans me vérifier, et donc sans garantie du résultat. C'est le principe que je cherchais à vous montrer.
Pour être tout à fait complet, il s'agit d'une "expérience" que l'on arrête si une certaine condition est replie (les 6 faces sont apparues). la loi normale ne peut pas s'appliquer brutalement. En d'autres termes, si j'avais eu à résoudre le problème, j'aurais détaillé plus finement pour avoir plus finement les limites de classe. Je crois que cette question dépasse largement le niveau lycée.
Tout ceci n'est naturellement que mon avis personnel.

[The_Anonymous]

.

Désolé, L'anonyme,

mais si n est bien le nombre de lancers de dé, pour n=0 il n'y a pas de lancer à comptabiliser. Si on ne lance pas, on n'a aucun lancer !!
Je n'ai pas non plus compris ton "le rang n=0 vaut 2" assez ésotérique !

Cordialement.

NB : On le constate, le smartphone n'est pas fait pour communiquer (sur un forum de maths).

D'accord, je comprends qu'il ne faut pas regarder n=0, mais alors en partant de n=1 jusqu'à l'infini, on obtient 13.7 et non 14.7.

(Je veux dire que ).

Votre NB m'intéresse parce qu'à condition de savoir comment s'en servir (ce n'est quand même pas trop compliqué, surtout pour les 10-30 ans), je ne vois pas pourquoi sur un forum de maths la communication est moins bien avec un smartphone...

Cordialement

Bon, je corrige ma réponse.
Il y a en fait 2 écueils, d'abord le décompte 0 qui vaut 1 etc. J'ai rajouté 1, la moyenne de mes 8 essais est 13.9 que j'ai arrondi à 14, puis j'ai rajouté 1, ce qui fait 15 (et non 16 noté par erreur).
Le second, est que l'énoncé indique "Combien ... avant ...". Donc quand on a trouvé que toutes les faces étaient apparues, au bout de N tirages, le résultat est (N-1).
A mon avis, l'intérêt du problème est que entre 10 et 20 tirages on a une chance sur deux d'avoir eu les 6 faces et que on a une idée du nombre de tirages pour être presque sûr d'avoir les 6 faces, en gros 48.
Pour ce genre de problème où il difficile d'être certain du résultat, il me semble qu'une bonne simulation vaut tous les calculs théoriques.
Je vous avouerai, par ailleurs, que j'ai fait ce calcul assez rapidement, sans me vérifier, et donc sans garantie du résultat. C'est le principe que je cherchais à vous montrer.
Pour être tout à fait complet, il s'agit d'une "expérience" que l'on arrête si une certaine condition est replie (les 6 faces sont apparues). la loi normale ne peut pas s'appliquer brutalement. En d'autres termes, si j'avais eu à résoudre le problème, j'aurais détaillé plus finement pour avoir plus finement les limites de classe. Je crois que cette question dépasse largement le niveau lycée.
Tout ceci n'est naturellement que mon avis personnel.

D'accord, je pense avoir compris pourquoi 14.7 et pas 15.7

Merci de vos explications

Cordialement

[gg0]

Pour le smartphone, voir certains messages. Toi tu sembles esquiver les soucis, mais d'autres pas !

[joel_5632]

Il faut garder le rang 0 bien sur mais ne pas utiliser la formule qui ne marche pas pour ce rang.
E(X) = sum(n=0,infty)P(X>n) = 1 + sum(n=1,infty)P(X>n) = 14.7

[joel_5632]

Je relis les messages. Deja, cette histoire de rang 0 n a rien a voir avec un probleme informatique.
Par definition E(X)=sum(n=0,infty)n.P(X=n)
On demontre que E(X)=sum(n=0,infty)P(X>n)
Il faut garder l indice 0 !

Ensuite j ai l impression que l anonyme confond P(X=n) et P(X>n)
Ce n est pas pareil.

La formule donne P(X>n)

[Jukse]

Salut,

Voici une preuve probabiliste presque sans calcul (seulement l'addition à la fin).

Soit le nombre de lancers pour passer de faces différentes à faces différentes. Alors le nombre total de lancers pour obtenir 6 faces différentes se décompose sous la forme et en particulier son espérance est la somme des espérance des . Il reste à préciser celles-ci.

Loi de : on a déjà obtenu faces différentes et on lance le dé jusqu'à en obtenir une nouvelle. À chaque lancer, cet événement se réalise avec probabilité , c'est une expérience de Bernoulli. Dans cette situation, suit la loi géométrique de paramètre . Son espérance est donc .

Finalement, le nombre total moyen de lancers est .

Bisous.

[joel_5632]

jukse

Cet exercice mérite qu'on se souvienne de lui

[gg0]

+1

Cordialement.

[The_Anonymous]

Il faut garder le rang 0 bien sur mais ne pas utiliser la formule qui ne marche pas pour ce rang.
E(X) = sum(n=0,infty)P(X>n) = 1 + sum(n=1,infty)P(X>n) = 14.7

Je relis les messages. Deja, cette histoire de rang 0 n a rien a voir avec un probleme informatique.
Par definition E(X)=sum(n=0,infty)n.P(X=n)
On demontre que E(X)=sum(n=0,infty)P(X>n)
Il faut garder l indice 0 !

Ensuite j ai l impression que l anonyme confond P(X=n) et P(X>n)
Ce n est pas pareil.

La formule donne P(X>n)

D'accord

J'aurais pu prendre vos remarques en compte pour mon exercice

Merci de vos réponses =D

Salut,

Voici une preuve probabiliste presque sans calcul (seulement l'addition à la fin).

Soit le nombre de lancers pour passer de faces différentes à faces différentes. Alors le nombre total de lancers pour obtenir 6 faces différentes se décompose sous la forme et en particulier son espérance est la somme des espérance des . Il reste à préciser celles-ci.

Loi de : on a déjà obtenu faces différentes et on lance le dé jusqu'à en obtenir une nouvelle. À chaque lancer, cet événement se réalise avec probabilité , c'est une expérience de Bernoulli. Dans cette situation, suit la loi géométrique de paramètre . Son espérance est donc .

Finalement, le nombre total moyen de lancers est .

Impressionné !
Un tout petit peu tard maintenant mais votre démarche est intéressante

Bisous.

x)

Cordialement