Demonstration compliqué

[invite1dd70cc5]

bonjour !
j'ai eu quelque difficulté à trouver une solution à un exercice qui me casse la tête et c'est pour ça que je sollicite votre aide.

sois a et b et c réel

démontrer que 〖(a+b-c)〗^2 +〖(a-b+c)〗^2 +〖(-a+b+c)〗^2 +3/4 ≥ a + b + c
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[invitec3343ce7]

J'ai pas regardé en profondeur mais ... t'as essayé de tout developper ? Vu la tete de tes carrées je pense que pas mal de trucs vont s'annuler et ton inéquation sera clair

M White

[Seirios]

Bonjour,

Qu'y a-t-il autour des parenthèses ? Des parties entières ?

[invite1dd70cc5]

j'essai de developper mais j'ai pas trouver la solution

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1dd70cc5]

voilà le développement de (a+b-c)²+(a-b+c)²+(-a+b+c)²+ ¾ ≥ a+b+c

Donne (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²+a²+b²+c²+3/4≥ a+b+c

[invite4bf147f6]

Bonjour,
a+b-c=a+b+c-2c
(a+b-c)²=a+b+c)²-4c(a+b+c)+4c²
donc (a+b-c)²+(a+c-b)²+(b+c-a)²=3(a+b+c)²-4(a+b+c)²+4(a²+b²+c²)

[danyvio]

Simple suggestion (je ne suis pas allé plus loin) pour ne pas (trop) s'emberlificoter dans le développement :
Remplacer a+b+c par T et travailler le développement de (T-a)²+(T-b)²+(T-c)²+3/4

[invitec9d3e4ec]

Bonsoir

Simple suggestion (je ne suis pas allé plus loin) pour ne pas (trop) s'emberlificoter dans le développement :
Remplacer a+b+c par T et travailler le développement de (T-a)²+(T-b)²+(T-c)²+3/4

C'est une piste qui rejoint l'idée de Mickan, oui, mais c'est plutôt (T-2a)² + (T-2b)² + (T-2c)² + 3/4

Sinon, en voilà une autre : remarquer que a+b+c = (a+b-c) + (a-b+c) + (-a+b+c)
En partant de là, je suis arrivé à démontrer l'inégalité.
Cordialement.

[danyvio]

Bonsoir

C'est une piste qui rejoint l'idée de Mickan, oui, mais c'est plutôt (T-2a)² + (T-2b)² + (T-2c)² + 3/4

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Bien vu !

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

voilà le développement de (a+b-c)²+(a-b+c)²+(-a+b+c)²+ ¾ ≥ a+b+c

Donne (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²+a²+b²+c²+3/4≥ a+b+c

En suivant cette idée, j'arrive au même résultat. Sauf erreur de ma part, il est ensuite possible (mais ce n'est pas évident) de continuer en regroupant les termes "d'une certaine façon" (après avoir transposé a+b+c dans le premier membre) et prouver l'inégalité.

Bon courage.