Deux petites question sur la rédaction

[inviteef105db0]

Bonjour. J'ai un devoir maison a faire et j'aimerais juste avoir la confirmation que mes réponses sont justes ( notamment la rédaction). Merci par avance.

Première question ( Voir énoncé):
Et voici ma réponse:

1) f'(x)= e^x-1 je fais mon tableau de signe et je remarque que f est décroissante sur [-infini;0] puis croissante sur [0;+ l'infini]

2) On veux démontrer l'inégalité e^x>x+1 pour tout réel x.
Or, d'après le tableau de signes effectué la fonction f admet un minimum en 0 donc on cherche: e^x-x-1>0 --> e^x>x+1. L'inégalité est démontrée

Cependant, je ne suis pas sur de ma justification concernant le minimum est ce le bonne justification ?

Merci par avance et longue vie a futura sciences !
-----

[invited5639bc0]

Bonjour,

( notamment la rédaction).

J'imagine que tu n'as pas tout écrit dans ton message, mais le raisonnement de la question 1 est bon.

Pour la 2 je suis d'accord à un point près:

la fonction f admet un minimum en 0 donc on cherche: e^x-x-1>0 --> e^x>x+1.

f admet effectivement un minimum en 0, mais on ne cherche pas e^x-x-1>0, on a e^x-x-1>=0 pour tout x appartenant à R. (On te demande supérieur ou égal hein!)
Dans tes justifications, n'oublie pas ce "pour tout x", c'est capital.

[invite2c46a2cb]

Salut !

1) f'(x)= e^x-1 je fais mon tableau de signe et je remarque que f est décroissante sur [-infini;0] puis croissante sur [0;+ l'infini]

Ouep, je suis d'accord, mais pense bien à exclure les "infinis".

2) On veux démontrer l'inégalité e^x>x+1 pour tout réel x.
Or, d'après le tableau de signes effectué la fonction f admet un minimum en 0 (*) donc on cherche: e^x-x-1>0 --> e^x>x+1 (*). L'inégalité est démontrée

(*) Quel est ce minimum ?
(*) Certes. On ne doit pas vraiment le chercher, mais le montrer.. Et donc pourquoi est-ce qu'on a toujours ? [PS : aide-toi de (*)]

EDIT : Croisement avec m236m

[inviteef105db0]

Merci de vos indications. Le minimum est f (0)=0 donc pour tout x on a toujours ex-x-1>= a 0 puisque grâce au minimum on voit que la fonction ne passe jamais dans les négatif ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5639bc0]

grâce au minimum on voit que la fonction ne passe jamais dans les négatif ?

En effet, si le minimum est 0, la fonction n'est jamais négative

[invite2c46a2cb]

Exactement !
Conclusion : Pour tout réel , on a ..
L'inégalité est donc démontrée.

[inviteef105db0]

Très bien je vous remercie des precisions concernant la rédaction. J'aimerais avoir , s' il vous plaît, le même type d'indications concernant la rédaction d'un autre petit exercice qui est : Resoudre dans R les équations et inéquations suivantes: a) e^2x + e^x -2 = 0 pour ce cas nous avons comme indication de poser X=e^x voici ma rédaction pour la a) je vous donne les éléments principaux - En posant X= e^x on a X2 + X - 2 c'est un trinôme et on trouve X1= -2 et X2= 1 donc e^x= X1 et X2 ? Non car -1 est négatif or e^x toujours positive par conséquent: 1= e^0 donc e^x=e^0 d'où x=0 ma rédaction est telle correcte ? Merci d'avance.

[invite2c46a2cb]

Très bien je vous remercie des precisions concernant la rédaction. J'aimerais avoir , s' il vous plaît, le même type d'indications concernant la rédaction d'un autre petit exercice qui est : Resoudre dans R les équations et inéquations suivantes: a) e^2x + e^x -2 = 0 pour ce cas nous avons comme indication de poser X=e^x voici ma rédaction pour la a) je vous donne les éléments principaux - En posant X= e^x on a X2 + X - 2 c'est un trinôme et on trouve X1= -2 et X2= 1 donc e^x= X1 et X2 ? Non car -1 est négatif or e^x toujours positive par conséquent: 1= e^0 donc e^x=e^0 d'où x=0 ma rédaction est telle correcte ? Merci d'avance.

Pour moi elle l'est !

[inviteef105db0]

Merci et allez si ce n'est pas trop vous demander je vous met une rédaction d'une autre petite question pour me dire si celle ci est juste. L'énoncé est le même a savoir résoudre dans R les équations et inéquations suivantes avec toujours comme indication de poser X=e^x
b) e^2x-(1+e)e^x+e>0 Voici ma rédaction:
On pose X=e^x donc : X2+(-1-e)X+e ce qui nous donne un trinôme avec a=1 b=-1-e et c=e
Delta= (1-e)²
X1= 1
X2= e
X1 et X2 sont les deux solutions de l'inéquation

Je vous remercie d'avance !

[invited5639bc0]

Bonjour,

Tout va bien jusque là:

X1 et X2 sont les deux solutions de l'inéquation

De plus, le problème n'est pas fini car tu ne cherches pas X1 et X2...

[invited5639bc0]

Il y a aussi un autre problème en fait,

ce qui nous donne un trinôme avec a=1 b=-1-e et c=e

*

Ca ne sert à rien de parler de a, b et c si tu ne dis pas que tu as un trinôme de la forme ax^2 + bx + c
Le mieux est de ne pas parler de a b ou c!