Initiation à l'art de la conjecture

[Lilly45]

Bonjour à tous et à toutes ! Je suis en T S. Voilà un exercice que j'ai à faire pour les vacances, je crois avoir réussi les premières questions mais je galère vraiment pour la question 5 et surtout la 6.
Voici l'énoncé
Un facteur doit distribuer le courrier dans une rue. Celle-ci ne comporte qu'une seule rangée de maisons régulièrement espacées et numérotées 1,2,...,n où n est un entier supérieur ou égal à 2.
Le facteur doit distribuer une lettre par maison.
Pour cela, il commence par laisser son vélo à la maison 1 et y dépose la lettre correspondante puis il distribue les autres lettres dans les autres maisons et revient à la maison 1 récupérer son vélo.
Il effectue ainsi un trajet représenté par les numéros successifs des maison où il a déposé le courrier.
Par exemple n=5 un trajet possible est 1, 5, 2, 4, 3, 1. La distance parcourue, appelée longueur du trajet vaut 12 dans ce cas car :
|5 - 1| + |2 - 5| + |4 - 2| + |3 - 4| + |1 - 3| = 12
Un autre trajet possible est 1,3,5,4,2,1 de longueur 8
1. Combien y a t il de trajets possibles ? Traiter les cas n=3, n=4, n=5
2. Montrer que tout trajet est de longueur supérieure ou égal à 2(n-1)
3. Combien y a t il dee trajets de longueur minimale ?
4. Dans le cas n=5 et n=6 déterminer la longueur maximale d'un trajet et donner un exemple de trajet de longueur maximale
5. Pour n quelconque déterminer la longueur maximale d'un trajet
6. Pour n quelconque, on tire un trajet au hasard. Tous les trajets sont équiprobables. Soit L la variable aléatoire égale à la longueur d'un trajet. Quelle est l'espérance de L ?

Pour la 1) j'ai noté tous les trajets possibles pour n=3, n=4, et n=5. J'ai remarqué que factorielle n-1 permettait d'avoir le nb de trajets possibles.
Pour la 2) j'ai calculé l'espérance mathématique de chaque trajet
Pour la question 3, la longueur minimale je l'ai généralisée avec l'expression : 2(n-2) + 2 (même si c'est pas demandé)
Les questions 3 et 4 sont évidentes
Par contre pour la question 5, je bloque, ainsi que la 6. Pouvez vous m'aider ?
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[acx01b]

salut,

pour la 2) et 3) on a forcément le trajet plus long que 1->n->1 puisqu'on part de 1 et qu'on doit passer par n et qu'on finit en 1

pour le trajet maximal à n arrêts :
c'est un trajet à n-1 arrêts dans lequel on a inséré l'arrêt n
si on insère n au milieu de a,b on ajoute 2n-a-b à la longueur du trajet à n-1 arrêts
on peut aussi imaginer un trajet à n-1 arrêts où on zappe l'arrêt 2, auquel on ajoute l'arrêt 2..

[Lilly45]

salut,

pour la 2) et 3) on a forcément le trajet plus long que 1->n->1 puisqu'on part de 1 et qu'on doit passer par n et qu'on finit en 1

pour le trajet maximal à n arrêts :
c'est un trajet à n-1 arrêts dans lequel on a inséré l'arrêt n
si on insère n au milieu de a,b on ajoute 2n-a-b à la longueur du trajet à n-1 arrêts
on peut aussi imaginer un trajet à n-1 arrêts où on zappe l'arrêt 2, auquel on ajoute l'arrêt 2..

2n-a-b mais ça on l'ajoute à la longueur du trajet à n-1 arrêts entre a et b, et ensuite entre b et c etc.. Donc ça nous fait (n-1)(2n-a-b) pour déterminer la longueur n du trajet ? je comprends pas en quoi cette formule constitue le trajet (longueur) maximal pour n arrêts...
une autre formule serait alors : (n-2) + 2 ?

[acx01b]

en fait il y a beaucoup plus simple :

on prend un trajet à 2 arrêts : 1 2 1

on en fait un trajet à 4 arrêts en insérant 3,4 comme ceci :
1 4 2 3 1

si on généralise : on ajoute au trajet à n arrêts a_1...a_n une longueur :


d'où le fait que l'ordre dans lequel on place les n+1...2n ne compte pas
pour faire la récurrence reste à prouver que le trajet le plus long est forcément de cette forme

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lilly45]

"si on généralise : on ajoute au trajet à n arrêts a_1...a_n une longueur :"
La formule avec la somme j'arrive pas à la comprendre, ni cette écriture : a_1...a_n

Je préfère que vous m'expliquez les étapes pour arriver à la généralisation plutôt que de donner la formule comme ça..