Vérification propriété de dérivée

[invite65f00230]

Bonjour !

Je voudrais voir si une propriété que j'ai remarqué est véridique :

Soit la droite D d'équation y=ax+b
Soit une courbe C d'équation quelconque (mais avec un x !)
Soit g'(D) la dérivée de l'équation de D
Soit f'(C) la dérivée de l'équation de C
Si g'(D)=f'(C) a une solution, alors D est tangente à C en un seul point

Autrement dit, si la dérivée de l'équation d'une courbe est égale à la dérivé de l'équation d'une droite, avec une seule valeur possible pour x alors est-ce que cette droite est tangente en un point à la courbe ?
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[gg0]

Bonjour.

Ce n'est pas très clair, ce que tu racontes, faute de notation adéquates; entre autre f'(C); sans parler de la confusion que tu sembles faire entre fonction dérivée (f') et nombre dérivé (f'(a)).

mais même réécrit sous la forme "si, pour une valeur de x, (ax+b)'=f'(x), alors la doite est-elle tangente à la courbe", la réponse est non. De façon évidente : En changeant la valeur de b, on change de droite sans changer la dérivée de ax+b qui est toujours a.
En fait, la droite est seulement parallèle à la tangente à la courbe C au point A(x,f(x)). (*)

Mais tu vas apprendre de plus en plus de choses sur le sujet, et ça te paraîtra évident.

Cordialement.

(*) bien entendu, si tu fais passer la droite par A, elle est la tangente.

[invite65f00230]

Ah.... je vais illustrer mes propos par un exemple alors !

Je fait actuellement un DM de math sur les dérivés. On a une droite, d'équation y1 = -x
On nous donne une parabole d'équation y2 = 1/4 + x²
On demande de vérifier par calcul que la droite est bien la tangente en un point quelconque de la parabole
J'ai donc dérivé y1, puis y2 et j'ai ensuite fait y1=y2 et j'ai trouvé une seule valeur (qui est l'abscisse du point de tangence).

Comme on nous donne plusieurs paraboles, en faisant à chaque fois cette méthode je trouve à chaque fois une seule solution qui est l'abscisse du point de tangence de la droite aux paraboles.

D'où la propriété que j'ai essayé de mettre en forme

[gg0]

Alors tu viens de réinventer une propriété qui est dans ton cours : la droite qui passe par le point A(a,f(a)) et qui a comme coefficient directeur f'(a) est la tangente en A à la courbe de f. Et c'est cette même propriété que tu as utilisée pour trouver qu'elle est tangente (éventuellement à travers "l'équation de la tangente").
Ce serait bien que tu apprennes vraiment ton cours .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]