bonjour
je bute sur un exercice dont voici l'énoncé
demontrer par recurrence l'inégalité suivante:
des réels strictement positifs et n entier naturel different de 0
montrer par récurrence:
à part l'initialisation pour n=1 qui est evidente
j'arrive pas à demontrer pour n+1 , en supposant l'inégalité vraie pour n :
merci pour l'aide
Dernière modification par JPL ; 01/09/2014 à 18h50.
Tu peux reconnaître avec peu de manipulations la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique...
Apres tu veux comparer un produit et une somme : pense au logarithme, et ses propriétés...
Pas besoin de récurrence ici
ça aurait été beaucoup plus simple si on choisissait comment résoudre un exercice sans respecter l'énoncé comme tu l'as remarqué ici la question était montre par récurrence et c'est possible reste à savoir comment .. J'y suis pas arrivé alors si quelqu'un peut nous guider parce que ça me chiffonne aussi .
Cordialement .
Bonjour,
autant pour moi j'ai lu trop vite.
Si la récurrence est obligatoire, on peut commencer par montrer le résultat pour des entiers de la forme 2^p.
Puis pour généraliser on se ramène au premier résultat en complétant avec des xi qui valent la moyenne arithmétique d des x1,...xn et ce, jusqu’à avoir 2^p éléments :
x1,..., xn, d, d, ...d.
bonjour et merci pour vos réponses
j'ai beau essayé démarrer avec la proposition de parentez, j'y arrive pas
est ce
si tu pouvez détailler un peu plus ton approche car la récurrence proposée me parait un peu "originale"
Il faut montrer par récurrence le résultat pour 2^p éléments : tu sais qu'avec 2^k on a l’inégalité, et tu veux donc montrer pour 2^k+1.
Tu poses
Tu as des inegalites faisant intervenir A1 et A2, par hypothese de recurrence.
D'autre part tu sais minorer
Merci
donc on suppose A1 vrai et on demontre A2
Y a pas erreur au niveau des indices de A2 ?
Non, ce n'est pas ça du tout... et il n'y a pas d'erreur dans les indices de A2, reprenons :
Tu supposes que lorsque tu as 2^k éléments ton inégalité est vraie. Maintenant tu veux prouver que cette inégalité est vraie aussi pour 2^k+1 éléments.
Donc tu as tes 2^k+1 éléments :
Tu les sépares en deux groupes de 2^k éléments chacun, les 2^k premiers sont donc :
Tu poses A1 la moyenne arithmétique des 2^k premiers termes et A2 la moyenne des 2^k suivants :
Apres, cherche un peu, pour vérifier tu as la solution ci-dessous. Mais tu ne retireras rien de cet exercice si tu ne cherches pas par toi-même en utilisant les conseils précédents...
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Bonsoir
enfin, je suis arrivé à comprendre le procédé. Faut dire que c'est une recurrence particulière.
parentez un grand merci pour l'aide et surtout pour ta compréhension.
bonjour
désolé parentez de revenir à ce résultat mais cela m'est revenu après coup:
en principe dans une démonstration par récurrence, dans la phase "hérédité" on suppose la proposition vraie pour n et on la démontre pour le rang qui vient juste après à savoir (n+1)
dans ta démonstration, on suppose vraie pour le rang (
mais le rang qui vient après (
merci de me rectifier
Envoyé par ParentEZ
Bonjour ParentEZ,Donc tu as tes 2^k+1 éléments :
En dépit de ton pseudo, tu as oublié des parenthèses : Mettre 2^(k+1) à la place de 2^k+1
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 04/09/2014 à 09h51.
Bonjour moundir56,en principe dans une démonstration par récurrence, dans la phase "hérédité" on suppose la proposition vraie pour n et on la démontre pour le rang qui vient juste après à savoir (n+1)
dans ta démonstration, on suppose vraie pour le rang (
mais le rang qui vient après (
La récurrence est faite sur k. Donc on suppose P(k) : "bla bla bla 2k bla bla bla". Et l'on cherche bien à démontrer P(k+1) : "bla bla bla 2k+1 bla bla bla".
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 04/09/2014 à 10h02.
Bonjour,
Pas facile cette démonstration!
En tous les cas, parentez fsxskillz et planetf , Merci à vous tous les amis pour vos réponses
Bonjour,
je t'en prie !
Mais attention : il faut encore montrer que le résultat est vrai pour tout rang n... Tu as les indications précédentes, et si tu as bien compris l’idée derrière la récurrence, ça ne devrait pas poser problème ^^ Bon courage !
