Démontrer une inégalité

[invite6cbfdd18]

Bonsoir,
j'aurais besoin d'aide pour montrer cette inégalité :
Si 0,5 ( X² + Y² ) <= X <= Y alors Y<= 1 avec X et Y deux réels.

J'arrive à montrer que X<=1 et que Y<= racine(2) mais je bloque après....

Merci.
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[Jeanpaul]

La géométrie, y'a que ça de vrai !
C'est quoi la courbe 0,5 (x² + y²) - x = 0 ?
Et c'est quoi la zone du plan où 0,5 (x² + y²) - x <=0 ?
Et ensuite la zone du plan où x <=y ?
Et c'est où que les 2 conditions sont simultanées ?

[invite6cbfdd18]

Bonjour, merci de votre réponse !
J'ai pensé à utiliser la géométrie sur vos bons conseils et j'obtiens donc :
(X-1)² + Y² <= 1

En traçant mon cercle de centre ( 1 ; 0 ) de rayon 1, j'observe que les ordonnées ne sont jamais supérieures à 1. Donc Y <= 1.

C'est tout bête...
Est-ce bon ?

[Jeanpaul]

L'idée est là mais pour être complet, il faudrait aussi intégrer la condition X <= Y, ce n'est plus tout le cercle alors, mais ta conclusion tient toujours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Montrons la propriété suivante :
0,5 ( X² + Y² ) <= X <= Y alors Y<= 1


On sait que ( X² + Y² )/2 <= X
<=>( X²-2X + Y² )/2 <= 0
<=>[(X-1)²-1+ Y²]/2 <= 0
<=>[(X-1)²+Y²]/2 <=1/2
<=>(X-1)²+Y²<=1
Or comme (X-1)²>=0 et Y²>=0, alors (X-1)²<=1 et Y²<=1
Or comme Y>=( X² + Y² )/2 et que X²>=0 et Y²>=0, alors Y>=0
il en résulte que Y<=1

[hhh86]

L'idée est là mais pour être complet, il faudrait aussi intégrer la condition X <= Y, ce n'est plus tout le cercle alors, mais ta conclusion tient toujours.

la condition X <= Y est inutile

[invite6cbfdd18]

Montrons la propriété suivante :
0,5 ( X² + Y² ) <= X <= Y alors Y<= 1


On sait que ( X² + Y² )/2 <= X
<=>( X²-2X + Y² )/2 <= 0
<=>[(X-1)²-1+ Y²]/2 <= 0
<=>[(X-1)²+Y²]/2 <=1/2
<=>(X-1)²+Y²<=1
Or comme (X-1)²>=0 et Y²>=0, alors (X-1)²<=1 et Y²<=1
Or comme Y>=( X² + Y² )/2 et que X²>=0 et Y²>=0, alors Y>=0
il en résulte que Y<=1

Merci de votre réponse.
La seule chose qui me choque dans votre démonstration, c'est lorsque vous dites (X-1)²>=0 et Y²>=0, alors (X-1)²<=1 et Y²<=1. Pour moi cela sous entend que ces deux conditions peuvent être vérifiées en même temps et à ce moment-là, on a (X-1)²+Y²<=2 ce qui fausse le début de la démo...
Je me trompe ?

[Jeanpaul]

la condition X <= Y est inutile

C'est vrai, mais il y a peut-être d'autres questions.

[invite6cbfdd18]

Merci de vous soucier de la suite du problème Jean-paul, mais c'est tout pour cette question !
En tout cas, merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée.

[hhh86]

Merci de votre réponse.
La seule chose qui me choque dans votre démonstration, c'est lorsque vous dites (X-1)²>=0 et Y²>=0, alors (X-1)²<=1 et Y²<=1. Pour moi cela sous entend que ces deux conditions peuvent être vérifiées en même temps et à ce moment-là, on a (X-1)²+Y²<=2 ce qui fausse le début de la démo...
Je me trompe ?

Il ne faut pas confondre implication et équivalence attention
Oui tu te trompes car tu peux avoir A==>B vraie et B==>A faux

[invite6cbfdd18]

Exact, petit problème de raisonnement
Merci d'être revenu là-dessus.