Polynômes (inégalité à démontrer)

[invitee53284f6]

Salut

Je bloque sur une question d'un exo, j'ai fait tout le reste mais celle là me pose problème.

Voilà l'énoncé de l'exercice...

Soit ₀ un polynôme unitaire de degré
On pose _n-10
Le but de cet exercice est de montrer que pour toute racine de ,

...et la question où je bloque :

On suppose à présent que

Montrer que

Je vois pas l'intérêt, mais on peut dire que ça revient à montrer que |z|ⁿ est inférieur ou égal à la somme des n termes de la suite géométrique de premier terme M et de raison |z|
Ca revient aussi à montrer que

Ce qui m'ennuie, c'est que cette inégalité est loin d'être tout le temps vérifiée : ça dépend de la valeur de M, et on a aucune indication par rapport à celle-ci.
Je me suis dit qu'il faudrait alors montrer que la valeur de M dépend de celle de |z| pour que l'inégalité soit juste, mais c'est justement ce qu'on cherche à montrer à la fin de l'exo...

Voilà en clair je suis un peu perdu, surtout comme ici où j'ai la sale impression que je dois montrer quelque chose de faux

merci d'avance
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[invitec053041c]

Ce qui doit ripper dans ton raisonnement, c'est que (1-|z|^n)(1-|z|), c'est la somme pour les (n-1) premiers termes, et pas les n termes de la suite géométrique.

Tu as par définition de z racine:



Tu passes tout sauf z^n de l'autre côté, tu passes à la valeur absolue, ingalités triangulaires habituelles, et tu arriveras au résultat voulu .

[Flyingsquirrel]

Salut

Ce qui doit ripper dans ton raisonnement, c'est que (1-|z|^n)(1-|z|), c'est la somme pour les (n-1) premiers termes, et pas les n termes de la suite géométrique.

Non, justement, comporte bien les premiers termes de la suite.

Je crois que Pakm a juste oublié que est une racine de .

[invitec053041c]

Salut

Non, justement, comporte bien les premiers termes de la suite.

Bon ça va hein .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee53284f6]

Ah oui effectivement z est racine de P
Par contre y'a un moment où j'ai l'impression de truander un peu...

_0n-10n-1

Quoique en y réfléchissant ça doit être bon non? Le - on peut l'enlever et on applique l'inégalité triangulaire...
Après il reste plus qu'à factoriser par M et c'est bon, merci à vous deux!

[invitec053041c]

Ben non tu truandes pas..

Puis tu as bien |ai|=<M pour tout i, d'où le résultat.

[invitee7b07b2b]

Bjr tt le monde , voila j'ai un Dm pour demain et j'arriv tjr pa a fer un exo alr voila l'enonC :
Soit P(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x+1.

Donc sachant que a est racine de P(x) j'ai du montrer que a est différent de 0 puis que si il l'est alr ssi a est solution de l'equation (E) :

a^2 - a - 4 - 1/a + 1/(a^2) = 0 .

on pose ensuite u= a + (1/a) et dalduler u^2.
Ce qui donne a^2 + 2a*(1/a) + (1/(a^2)).

mais après je sèche : il faut montrer que a est solution de (E) ssi u est solution d'une equation du second degré puis ensuite déterminer u puis les racines de P(x) .
S'il vous plait, si vous avez une idée aidez -moi ! !

Merci