Fonction et polynôme

[invitee53284f6]

Salut à tous!

J'ai un DM à rendre et je bloque sur quelques questions :





C'est évident, mais pour le démontrer c'est autre chose...

Bon le reste je vais l'écrire normalement ca sera plus rapide


On se propose de factoriser dans C[X] le polynôme P = X^7 - 5x^6 + 8X^5 - 4X^4 - 4X^3 + 8X^2 -5X + 1

(1) Déterminer deux valeurs réelles simples a et b, et Q appartenant à R[X] tels que P = (X-a)²(X-b)Q

jusque là ça va, je trouve a = 1 et b = -1

(2) On remarque que 0 n'est pas racine de P. On considère une racine x de P et on pose y = x + 1/x
(a) Montrer que l'équation Q(x)=0 équivaut à une équation polynômiale de degré 2 de la variable y

Ici je vois pas trop quoi faire, je dis que Q peut se mettre sous la forme (X-x)R avec R un polynôme de degré 3 mais ça répond pas vraiment à la question...

Après il faut en déduire une factorisation de P dans C[X], moi j'en déduis rien vu que j'ai pas répondu à la question du dessus, mais en faisant une division euclidienne c'est vite torché...pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué (en même temps c'est un problème de maths...)

Si quelqu'un pouvait m'aiguiller ça serait sympa, merci d'avance
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[Médiat]

Ici je vois pas trop quoi faire, je dis que Q peut se mettre sous la forme (X-x)R avec R un polynôme de degré 3 mais ça répond pas vraiment à la question...

Comme on a remarqué que 0 n'est pas racine de Q, Q(x) = 0 est équivalent à Q(x)/x² = 0, et écrit comme cela, x+1/x apparaît facilement et (x+1/x)² est facile à faire apparaître, en remplaçant (x+1/x) par y, tu obtiens bien une équation de degré 2 en y (facile à résoudre en plus).

[breukin]

Je ne sais plus si la dérivée d'une fonction est nécessairement intégrable (voir ce qui peut se passer avec les fonctions exotiques : peut-on exhiber une fonction dérivable dont la dérivée est discontinue partout ? comme on peut exhiber une fonction continue dérivable nulle part).
Mais sous cette réserve, puisque la dérivée tend vers une limite l>0, il existe L tel que 3l /4 < f '(x) pour x>L.
En intégrant : 3l(x–L) /4 < f(x)–f(L)
Donc : f(x) > 3lx /4+B pour x>L.
On peut alors trouver A>L tel que 3lx /4+B > lx /2 pour x>A.

[invitee53284f6]

Je ne sais plus si la dérivée d'une fonction est nécessairement intégrable (voir ce qui peut se passer avec les fonctions exotiques : peut-on exhiber une fonction dérivable dont la dérivée est discontinue partout ? comme on peut exhiber une fonction continue dérivable nulle part).
Mais sous cette réserve, puisque la dérivée tend vers une limite l>0, il existe L tel que 3l /4 < f '(x) pour x>L.
En intégrant : 3l(x–L) /4 < f(x)–f(L)
Donc : f(x) > 3lx /4+B pour x>L.
On peut alors trouver A>L tel que 3lx /4+B > lx /2 pour x>A.

Je suis vraiment désolé j'ai fait une erreur dans l'énoncé, il faut montrer que , et non

Comme on a remarqué que 0 n'est pas racine de Q, Q(x) = 0 est équivalent à Q(x)/x² = 0, et écrit comme cela, x+1/x apparaît facilement et (x+1/x)² est facile à faire apparaître, en remplaçant (x+1/x) par y, tu obtiens bien une équation de degré 2 en y (facile à résoudre en plus).

Y'a un truc que je comprends pas, vu qu'on a Q(x) = 0 on peut multiplier Q(x) par n'importe quel polynôme on aura toujours 0...et alors on peut arriver à autant d'équations de degré 2 de la variable y qu'on veut
Et pourquoi on parle de la variable y, alors que x + 1/x est constant?
Je dois être fatigué...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee53284f6]

Pour la première question, ça marche en appliquant la définition de la limite finie en un point infini d'une fonction, à f'(x)?

Je trouve ça :



Alors
Et il suffit de prendre

A part le fait que je me retrouve avec une inégalité stricte, le raisonnement est correct?

[Médiat]

Y'a un truc que je comprends pas, vu qu'on a Q(x) = 0 on peut multiplier Q(x) par n'importe quel polynôme on aura toujours 0...et alors on peut arriver à autant d'équations de degré 2 de la variable y qu'on veut
Et pourquoi on parle de la variable y, alors que x + 1/x est constant?
Je dois être fatigué...

As-tu fait les calculs proposés ?

[invitee53284f6]

As-tu fait les calculs proposés ?

J'ai essayé, le problème c'est que je vois pas de quel équation partir.
Je suis censé me servir de P = (x-1)²(x+1)Q(x) ou je dois partir directement de Q(x)/x² = 0 en mettant Q sous la forme a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e ? (a et b différents de ceux de l'énoncé bien sur)

merci de votre aide, mais je comprends vraiment pas.

[God's Breath]

J'ai essayé, le problème c'est que je vois pas de quel équation partir.
Je suis censé me servir de P = (x-1)2(x+1)Q(x) ou je dois partir directement de Q(x)/x2 = 0 en mettant Q sous la forme a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e ? (a et b différents de ceux de l'énoncé bien sur)

merci de votre aide, mais je comprends vraiment pas.

Tu dois partir de Q(x). Quelle en est numériquement l'expression ?

[invitee53284f6]

C'est ce que je dois trouver justement, on sait juste que P = X^7 - 5x^6 + 8X^5 - 4X^4 - 4X^3 + 8X^2 -5X + 1 = (X-1)²(X+1)Q

[God's Breath]

C'est ce que je dois trouver justement, on sait juste que P = X^7 - 5x^6 + 8X^5 - 4X^4 - 4X^3 + 8X^2 -5X + 1 = (X-1)2(X+1)Q

Il suffit de faire la division de P par ...

[invitee53284f6]

Oui on peut trouver Q de cette manière (je l'ai même calculé), mais je me suis mal exprimé c'est pas ce qui est demandé.

Je remet la question :

(2) On remarque que 0 n'est pas racine de P. On considère une racine x de P et on pose y = x + 1/x
Montrer que l'équation Q(x)=0 équivaut à une équation polynômiale de degré 2 de la variable y

[God's Breath]

Oui on peut trouver Q de cette manière (je l'ai même calculé), mais je me suis mal exprimé c'est pas ce qui est demandé.

Je remet la question :

(2) On remarque que 0 n'est pas racine de P. On considère une racine x de P et on pose y = x + 1/x
Montrer que l'équation Q(x)=0 équivaut à une équation polynômiale de degré 2 de la variable y

Sans la valeur explicite de Q, je ne peux pas t'aider, et je n'ai pas envie de la calculer moi-même.

[invitee53284f6]

Ahhhh il faut se servir de la valeur de Q?
Je pensais qu'on essayait de trouver un autre moyen de factoriser P, parce que la dernière question est "en déduire la factorisation de P dans C[X]". Vu qu'en calculant Q on obtient directement cette factorisation...
J'avais pas réalisé que c'était une étape intermédiaire, ou alors on cherche à factoriser Q par la suite pour obtenir une factorisation complète de P? (en me relisant ça m'étonnerait que quelqu'un comprenne ce que je viens d'écrire)

En tout cas j'ai trouvé Q = X^4 - 4X^3 + 5X^2 -4X + 1
Je vais chercher de mon côté, mais ça devrait être bon normalement

[invitee53284f6]

Oui vraiment je me suis pris la tête pour rien...

Au final je trouve

Sinon pour en revenir à ma fonction, ma "démonstration" est valable? (cf http://forums.futura-sciences.com/post1614767-5.html)

[invitee261790d]

Tu serais pas en PCSI à dumont par hasard j'ai exactement les mêmes exos que toi en dm.

[breukin]

Concernant le premier exercice, avec la correction de l'énoncé, l'exercice n'a strictement plus aucun intérêt !
Puisque c'est la simple définition de la limite.

[invitee53284f6]

Oui voilà, même si ça m'a pas sauté aux yeux tout de suite...

ethseux : oui, je t'ai répondu en mp

[God's Breath]

En tout cas j'ai trouvé Q = X^4 - 4X^3 + 5X^2 -4X + 1

Donc , l'inétrêt est que la liste des coefficients de est un palindrome.

Il te suffit de trouver une relation simple entre et .

[invitee53284f6]

Je suis tombé sur (x + 1/x)² - 4(x+ 1/x) + 3 = 0
Tu as du te tromper dans la factorisation, ou alors je comprends pas ce que tu as fait

[God's Breath]

Effectivement, il faut lire , d'où le résultat que tu obtiens.

Le facteur initial 4 est une fautre de frappe.

[invitee7b07b2b]

Bjr tt le monde , voila j'ai un Dm pour demain et j'arriv tjr pa a fer un exo alr voila l'enonC :
Soit P(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x+1.

Donc sachant que a est racine de P(x) j'ai du montrer que a est différent de 0 puis que si il l'est alr ssi a est solution de l'equation (E) :

a^2 - a - 4 - 1/a + 1/(a^2) = 0 .

on pose ensuite u= a + (1/a) et dalduler u^2.
Ce qui donne a^2 + 2a*(1/a) + (1/(a^2)).

mais après je sèche : il faut montrer que a est solution de (E) ssi u est solution d'une equation du second degré puis ensuite déterminer u puis les racines de P(x) .
S'il vous plait, si vous avez une idée aidez -moi ! !

Merci